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特色条目 1

Portal:几何学/特色条目/1

直角边的平方和等于斜边的平方
勾股定理(英语:Pythagorean theorem)又称商高定理毕达哥拉斯定理毕氏定理百牛定理,是平面几何中一个基本而重要的定理。勾股定理说明,平面上的直角三角形的两条直角边的长度(古称勾长、股长)的平方和等于斜边长(古称弦长)的平方。反之,若平面上三角形中两边长的平方和等于第三边边长的平方,则它是直角三角形(直角所对的边是第三边)。

勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一。

据《周髀算经》中记述,公元前一千多年周公商高论数的对话中,商高就以三四五3个特定数为例详细解释了勾股定理要素,其一,“以为句广三,股修四,径隅五”。其二,“既方其外,半之一矩,环而共盘,得成三四五。两矩共长二十有五,是谓积矩。”首先肯定一个底宽为三,高为四的直角三角形,弦长必定是五。最重要的是紧接着论证了弦长平方必定是两直角边的平方和,确立了直角三角形两条直角边的平方和等于斜边平方的判定原则。其判定方法后世不明其法而被忽略。

此外,《周髀算经》中明确记载了周公后人陈子叙述的勾股定理公式:“若求邪至日者,以日下为勾,日高为股,勾股各自乘,并而开方除之,得邪至日”。

赵爽在《周髀算经注》中将勾股定理表述为“勾股各自乘,并之,为弦实。开方除之,即弦”。

古埃及公元前2600年的纸莎草就有(3,4,5)这一组勾股数,而古巴比伦泥板涉及的最大的一个勾股数组是(18541,12709,13500)。

古希腊发现勾股定理的是毕达哥拉斯,所以勾股定理又称毕达哥拉斯定理。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后,即斩了百头作庆祝(百牛大祭),因此又称百牛定理。但这个说法显然是以讹传讹,众所周知毕达哥拉斯主义者在古代以素食闻名。

有些参考资料提到法国和比利时将勾股定理称为驴桥定理,但驴桥定理就是等边对等角,是指等腰三角形的二底角相等,非勾股定理。

特色条目 2

Portal:几何学/特色条目/2

十二面体是五个柏拉图式固体之一。
几何学中,正图形又称正多胞形(英语:Regular polytope),即正几何图形,是一种对称性对于标记可递的几何体,且具有高度对称性,对于该几何体内所有同维度的元素(如:点、线、面)都完全具有相同的性质,并且每一个元素皆为一个正图形,例如,正方体所有的面的面积及形状皆相同,且皆为正方形,是一个二维正多胞形、所有边的长度也相同,所有角的角度及形式也相同,因此正方体是一个正图形或正多胞形。对于所有元素,或叫j维面(对所有的 0 ≤ j ≤ n,其中n是该几何体所在的维度) — 胞、面等等 — 也都对于多胞形的对称性可递,也是≤ n维的正图形。

正图形是正多边形(例如,正方形或者正五边形)和正多面体(例如立方体)的向任意维度的推广类比。正图形极强的对称性使它们拥有极强的审美价值,吸引着数学家和数学爱好者。

一般地,n维正图形被定义为有正维面[(n − 1)-表面]和正顶点图。这两个条件已经能充分地保证所有面、所有顶点都是相似的。但要注意的是,这一定义并不适用于抽象多胞形英语abstract polytope

一个正图形能用形式为{a, b, c, ...., y, z}的施莱夫利符号代表,其正的面为{a, b, c, ..., y},顶点图为{b, c, ..., y, z}。

特色条目 3

Portal:几何学/特色条目/3

角度“θ”的所有三角函数可以以“O”为中心的单位圆以几何方式构造。
三角函数数学中常见的一类关于角度函数。三角函数将直角三角形的内角和它的两个边的比值相关联,也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用,也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中,三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解,允许它们的取值扩展到任意实数值,甚至是复数值。

常见的三角函数包括正弦函数)、余弦函数)和正切函数或者)。在航海学测绘学、工程学等其他学科中,还会用到如余切函数正割函数余割函数正矢函数半正矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出,称为三角恒等式

三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度,在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。另外,以三角函数为模版,可以定义一类相似的函数,叫做双曲函数。常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。

特色条目 4

Portal:几何学/特色条目/4

亨利·比灵斯爵士(Sir Henry Billingsley)的第一个英文版“欧几里得几何原本”,1570年
《几何原本》(希腊语Στοιχεῖα)是古希腊数学欧几里得在公元前3世纪埃及所著的一部数学著作,共13卷。它包括一系列定义,假设(公理),命题(定理)及其证明。欧几里得的书是在欧几里德几何的领域,以及古希腊版数论。《几何原本》是几何中最古老的公理演绎理论之一,已被证明在逻辑和现代科学的发展中起了重要作用。

它被认为是最成功的教科书之一:《几何原本》是第一本要出版的书之一,并且仅次于《圣经》,出版的版本数量超过1000种。几个世纪以来,当所有大学生的课程都被纳入时,所有学生都要求至少部分欧几里德几何原本的知识。直到20世纪才被认为是所有受过教育的人都读过的东西。 它仍然(虽然很少)用作今天的几何学基本介绍。

这本著作是在四库全书中为子部天文算法算书类。

特色条目 5

Portal:几何学/特色条目/5

四面体
正多面体,或称柏拉图立体, 指各面都是全等的正多边形且每一个顶点所接的面数都是一样的多面体。这些是凸规则正多边形的三维类似物。正好有五个这样的数字(如右图所示)。每个数字的名称来自其面数:分别为4,6,8,12和20.它们的独特之处在于侧面,边缘和角度都是全等的。

由于它们的审美美感对称性柏拉图立体已成为几千年来几何学家们的一个最喜欢的主题。他们以古希腊哲学柏拉图命名,声称古典元素是从正多面体构建的。

正多面体的别称柏拉图立体是因柏拉图而命名的。柏拉图的朋友泰阿泰德告诉柏拉图这些立体,柏拉图便将这些立体写在《蒂迈欧篇》(Timaeus) 内。正多面体的作法收录《几何原本》的第13卷。在命题13描述正四面体的作法;命题14为正八面体作法;命题15为立方体作法;命题16则是正二十面体作法;命题17则是正十二面体作法。

特色条目 6

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一个定义在球面上的仿射联络,会把点上的整个仿射切平面(详见仿射空间及切空间)转换到另一点上的仿射切平面,此转换是沿着连接两点的曲线而连续变化的。
仿射联络微分几何中定义在流形上的几何概念,连接了邻近几点上的切空间,使得在流形上的切向量场可以求导。仿射联络的概念起源于19世纪的几何学和张量微积分,但那时并没有被完备的定义出来。直到1920年,(用于嘉当联络(Cartan connection)理论)及Hermann Weyl(做为广义相对论的基础理论)。这专门术语是沿用嘉当(Cartan)所使用的术语及根据从欧几里德空间Rn中切空间的推广。换句话说,仿射联络的概念是为了推广欧几里德空间,使得流形上每点都有一个光滑的(可无限求导)仿射空间。

任何维数为正数的流形都会有无穷个仿射联络。仿射联络能用来决定在向量场上求导,并满足线性莱布尼兹法则的方法,这表明了仿射联络有几个可行的方法,像是协变导数或在向量丛上的联络。仿射联络也能用来决定在切向量沿着一条曲线平行移动的方式,或者用来决定标架丛的平行移动。仿射联络也可以用来决定流形上的测地线,推广了欧几里德空间中直线的概念。

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