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Jury稳定性准则

Jury稳定性准则(Jury stability criterion)是在信号处理控制理论中,判断线性离散系统稳定性的方式,是利用分析特征多项式来进行分析。Jury稳定性准则是劳斯–赫尔维茨稳定性判据的离散时间版本。Jury稳定性判据要求系统的极点都要位在以原点为圆心的单位圆内,劳斯–赫尔维茨稳定性判据要求系统的极点在复数平面的左半边。Jury稳定性准则得名自伊拉克裔美籍工程师殷巴尔·易卜拉欣·朱瑞英语Eliahu Ibraham Jury

方法

系统的特征多项式如下

用以下的方式来建构表格[1]

row zn zn-1 zn-2 z.... z1 z0
1 a0 a1 a2 ... an-1 an
2 an an-1 an-2 ... a1 a0
3 b0 b1 ... bn-2 bn-1
4 bn-1 bn-2 ... b1 b0
5 c0 c1 ... cn-2
6 cn-2 cn-3 ... c0
... ... ... ... ... ... ...
2n-5 p3 p2 p1 p0
2n-4 p0 p1 p2 p3
2n-3 q2 q1 q0

因此,第一行是多项式的系数,从常数项次而高次项次排列,第二行则是第一行的反序。

第三行是将第一行减去第二行乘以,而第四行是第三行的反序(并且维持最后一个元素为零)。

表格继续往下延伸,直到有一行只有一个非零元素为止。

针对头两行相减的系数是,针对第三行及第四行相减的系数就变成,因此所得的多项式会少一项。

稳定性测试

,而,,...都是正值,表示系统的根都在单位圆内,系统稳定。只要上述有任何一个小于零,表示系统至少有一个根都在单位圆外,系统不稳定。

若Jury稳定性准则发现,,...中有一个为负值,即可结束测试,因为至少有一个根都在单位圆外,系统不稳定。

程式实现

此方式用电脑的动态阵列很容易实现。也可以确认系统所有的根(实根或是复数根)都在单位圆内。向量v是原多项式的系数,从最高项次到常数项。

        /* vvd is the jury array */
        vvd.push_back(v); // Store the first row
        reverse(v.begin(),v.end());
        vvd.push_back(v); // Store the second row

        for(i=2;;i+=2)
        {
            v.clear();
            double mult=vvd[i-2][vvd[i-2].size()-1]/vvd[i-2][0]; // This is an/a0 as mentioned in the article.

            for( j=0;j<vvd[i-2].size()-1;j++) // Take the last 2 rows and compute the next row
                   v.push_back(vvd[i-2][j] - vvd[i-1][j]*mult);

            vvd.push_back(v);
            reverse(v.begin(),v.end()); // reverse the next row
            vvd.push_back(v);
            if(v.size()==1) break;
         }

         // Check is done using
         for(i=0;i<vvd.size();i+=2)
         {
              if(vvd[i][0]<=0) break;
         }

         if(i==vvd.size())
              "All roots lie inside unit disc "
         else
              "no"

范例

若已知的分母多项式为,判断该系统是否稳定。
解答:因为

的系数排列成朱利表(如下):

row z4 z3 z2 z1 z0
1 4 -4 0 2 -1
2 -1 2 0 -4 4
3 15 -14 0 4
4 4 0 -14 15
5 209 -210 56




即满足Jury稳定条件,因此所有极点位于内,故系统是稳定的。

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参考资料

  1. ^ Discrete-time control systems (2nd ed.), pg. 185. Prentice-Hall, Inc. Upper Saddle River, NJ, USA ©1995 ISBN 0-13-034281-5

若需要更多细节,可以参考以下连结:

进阶参考资料:

有关实现的资料:


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