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鸢形二十四面体

鸢形二十四面体
鸢形二十四面体
(按这里观看旋转模型)
类别 卡塔兰立体
24
48
顶点 26
欧拉特征数 F=24, E=48, V=26 (χ=2)
面的种类
DU10 facets.png

鸢形
面的布局英语Face configuration V3.4.4.4
顶点图 V3.4.4.4
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png
康威表示法 oC
deC
对称群 Oh, BC3, [4,3], *432
对偶 小斜方截半立方体
旋转对称群英语Point_groups_in_three_dimensions#Rotation_groups O, [4,3]+, (432)
二面角 138°07′05″
arccos(−7 + 42/17)
特性 、 面可递
立体图 DU10 facets.png
V3.4.4.4
顶点图
Rhombicuboctahedron.jpg
小斜方截半立方体
(对偶多面体)
Deltoidalicositetrahedron net.png
(展开图)

几何学中,鸢形二十四面体(亦称为四角化二十四面体[2]梯形二十四面体[3][4])是一种卡塔兰立体,由24个鸢形组成,其对偶多面体小斜方截半立方体[4]

性质

鸢形二十四面体由24个、48条、26个顶点组成[5],其中24个面为24个全等的鸢形、48条边中有24条等长的长边和24条等长的短边、26个顶点中有8个顶点是3个鸢形的公共顶点,对应的顶角是三面角;以及6个顶点是4个鸢形的公共顶点,对应的顶角是四面角;剩下的12个顶点也是4个鸢形的公共顶点,对应的顶角也是四面角,但角度与前者不同[6]。它的对偶多面体小斜方截半立方体

面的组成

鸢形二十四面体由24个全等筝形(亦称为鸢形)所组成[7]

DU10 facets.png

该筝形或鸢形的长短边长比为1:(2 − 1/2) ≈ 1:1.292893...[8],有3个角等角,其角度分别为(115.26°,81.58°,81.58°,81.58°)[8]

体积与表面积

一个最短边边长为a的鸢形二十四面体,其表面积A、体积是V为[9]

顶点坐标

若其对偶多面体小斜方截半立方体的边长为单位长,则对应的几何中心位于原点的鸢形二十四面体,顶点坐标为[10]

正交投影

鸢形二十四面体有三种从顶点投影的高对称性正交投影。后两者的对偶图其对称性对应于B2和A2考克斯特平面英语Coxeter plane[11][12]

正交投影
投影对称性 [2] [4] [6]
图像 Dual cube t02 f4b.png Dual cube t02 B2.png Dual cube t02.png
对偶图像 Cube t02 f4b.png 3-cube t02 B2.svg 3-cube t02.svg

使用

在文化中,鸢形二十四面体出现在部分艺术创作中,例如莫里兹·柯尼利斯·艾雪的艺术创作《星星》以及马兰·布洛克荷兰语Maree_Blok的装置艺术《永恒的水》。此外,亦有部分24个面的多面体骰子被设计为鸢形二十四面体的外型,其他常见的24面骰子有三角化八面体四角化六面体伪鸢形二十四面体英语Pseudo-deltoidal icositetrahedron偏方二十四面体五角化二十四面体等形状[13]

化学中,部分物质的结晶形状是鸢形二十四面体。例如,在自然界中,方沸石和石榴石晶体结构就是鸢形二十四面体,部分实验中制备的氧化铟奈米晶体亦是这种形状[14]。在矿物学中,这种晶体形状称为偏方面体(英语:Trapezohedron)[15][16][17],但在几何学中偏方面体则有其他含意[18],表示反柱体的对偶多面体[19][20]。 此外在某些情况下会结晶出较不规则的鸢形二十四面体,其在结晶学中称为偏方二十四面体(英语:diplohedron)[21][22][23]

相关多面体与镶嵌

投影到球面的鸢形二十四面体

若将鸢形二十四面体投影到球面上,如右图所示,则其边会与复合八面体立方体(立方体和其对偶——正八面体在空间中互相重叠组合成的结构)投影到球面上的果共用相同的棱[24]

Polyhedron small rhombi 6-8 dual max.png
鸢形二十四面体
Polyhedron pair 6-8.png
复合八面体立方体与左图同一个角度

鸢形二十四面体是小斜方截半立方体的对偶多面体,而小斜方截半立方体可以经由立方体或正八面体透过扩展变换来构造[25]。其他可以由立方体或正八面体透过康威变换构造的立体及其对偶有:

半正正八面体家族多面体
对称性: [4,3], (*432) [4,3]+, (432) [1+,4,3], (*332) [4,3+], (3*2)
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Uniform polyhedron-43-t0.svg Uniform polyhedron-43-t01.svg Uniform polyhedron-43-t1.svg Uniform polyhedron-43-t12.svg Uniform polyhedron-43-t2.svg Uniform polyhedron-43-t02.png Uniform polyhedron-43-t012.png Uniform polyhedron-43-s012.png Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-43-h01.svg
{4,3} t0,1{4,3} t1{4,3} t1,2{4,3} {3,4} t0,2{4,3} t0,1,2{4,3} s{4,3} h{4,3} h1,2{4,3}
半正多面体的对偶
CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
Octahedron.svg Triakisoctahedron.jpg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg Hexahedron.svg Deltoidalicositetrahedron.jpg Disdyakisdodecahedron.jpg Pentagonalicositetrahedronccw.jpg Tetrahedron.svg POV-Ray-Dodecahedron.svg
V4.4.4 V3.8.8 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3 V3.4.4.4 V4.6.8 V3.3.3.3.4 V3.3.3 V3.3.3.3.3
*变异的n42对称性对偶扩展镶嵌系列:V3.4.n.4
对称性
*n32英语Orbifold notation
[n,3]英语Coxeter notation
球面镶嵌英语List_of_spherical_symmetry_groups 欧氏镶嵌英语List_of_planar_symmetry_groups 紧凑双曲 仿紧双曲
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]...
*∞32
[∞,3]
图像
面布局英语Face configuration
Spherical trigonal bipyramid.png
V3.4.2.4
Spherical rhombic dodecahedron.png
V3.4.3.4
Spherical deltoidal icositetrahedron.png
V3.4.4.4
Spherical deltoidal hexecontahedron.png
V3.4.5.4
Tiling Dual Semiregular V3-4-6-4 Deltoidal Trihexagonal.svg
V3.4.6.4
Deltoidal triheptagonal til.png
V3.4.7.4英语Rhombitriheptagonal tiling
Deltoidal trioctagonal til.png
V3.4.8.4
Deltoidal triapeirogonal til.png
V3.4.∞.4
对偶
顶点布局英语Vertex configuration
Spherical triangular prism.png
3.4.2.4
Uniform tiling 432-t1.png
3.4.3.4
Uniform tiling 432-t02.png
3.4.4.4
Uniform tiling 532-t02.png
3.4.5.4
Rhombitrihexagonal tiling uniform coloring.png
3.4.6.4
H2 tiling 237-5.png
3.4.7.4英语Rhombitriheptagonal tiling
H2 tiling 238-5.png
3.4.8.4
H2 tiling 23i-5.png
3.4.∞.4

偏方二十四面体

晶体学中的偏方二十四面体。

偏方二十四面体为鸢形二十四面体的一种变体,其拓朴结构与鸢形二十四面体等价。鸢形二十四面体与偏方二十四面体的拓朴结构皆与立方体每个面的正方形用两条垂直线分成四个小正方形的结果等价。其可以投影到正八面体上并将每个三角形面分成3个鸢形。 在晶体学中,透过旋转其三面角所形成的变体称为dyakis dodecahedron[26][27]diploid[28],然而这些变体在中文文献中皆被称为偏方二十四面体[23]

八面体群英语Octahedral symmetry, Oh, 24阶 五角十二面体群英语Pyritohedral symmetry, Th, 12阶
Partial cubic honeycomb.png Deltoidal icositetrahedron octahedral.png Deltoidal icositetrahedron octahedral gyro.png Deltoidal icositetrahedron gyro.png Deltoidal icositetrahedron concave-gyro.png

鸢形二十四面体图

图论的数学领域中,与鸢形二十四面体相关的图为鸢形二十四面体图(Disdyakis Dodecahedral Graph),是鸢形二十四面体之边与顶点的图英语1-skeleton[29],是一个阿基米德对偶图[30]

性质

鸢形二十四面体图有48条边和26个顶点,其中为3的顶点有8个、度为4的顶点有18个。[29]

特征多项式[29]

参见

参考文献

  1. Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)
  2. Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 1983, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 730208, doi:10.1017/CBO9780511569371 (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 23, Deltoidal icositetrahedron)
  1. ^ The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 286, tetragonal icosikaitetrahedron)
  2. ^ Conway, Symmetries of things[1], p.284-286
  3. ^ Holden, A. Shapes, Space, and Symmetry (Dover Books on Mathematics). Dover Publications. 1971: p. 55.
  4. ^ 4.0 4.1 Eric W. Weisstein. Deltoidal Icositetrahedron. 密歇根州立大学. 1999-05-26 [2019-09-01]. (原始内容存档于2013-05-28).
  5. ^ V. Bulatov. deltoidal icositetrahedron. bulatov.org. 2009 [2019-09-02]. (原始内容存档于2017-12-06).
  6. ^ David I. McCooey. Catalan Solids: Deltoidal Icositetrahedron. dmccooey.com. 2015 [2019-09-02]. (原始内容存档于2019-09-02).
  7. ^ Deltoidal Icositetrahedron Calculator. rechneronline.de. [2019-09-05]. (原始内容存档于2019-09-05).
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  9. ^ Weisstein, E.W. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press. 2002: p.700. ISBN 9781420035223.
  10. ^ Data of Deltoidal Icositetrahedron. dmccooey.com. [2019-09-02]. (原始内容存档于2017-08-27).
  11. ^ 约翰·史坦布里奇英语John Stembridge. Coxeter Planes. math.lsa.umich.edu. [2019-09-05]. (原始内容存档于2018-02-10).
  12. ^ 约翰·史坦布里奇英语John Stembridge. More Coxeter Planes. math.lsa.umich.edu. [2019-09-05]. (原始内容存档于2017-08-21).
  13. ^ Kybos, Alea. Properties of Dice (PDF). [7 October 2012]. (原始内容 (PDF)存档于2012-05-28).
  14. ^ Luo, Shaojuan and Yang, Dongning and Zhuang, Jianle and Ng, Ka Ming. Synthesis and characterization of nearly monodisperse deltoidal icositetrahedral In 2 O 3 nanocrystals via one-pot pyrolysis reaction. CrystEngComm (Royal Society of Chemistry). 2013, 15 (40): 8065––8068.
  15. ^ The Trapezohedron. galleries.com. [2019-09-02].
  16. ^ Muhammad Talha Butt, Mineral Habits, Bahria university, 2009-05-18
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  18. ^ Weisstein, Eric W. Trapezohedron. MathWorld--A Wolfram Web Resource.
  19. ^ N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.3 Pyramids, Prisms, and Antiprisms, Figure 11.3c
  20. ^ Anthony Pugh. Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. 1976. ISBN 0-520-03056-7. Chapter 4: Duals of the Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms。
  21. ^ Alain Darbellay. A study of MADAGASCAR GARNET. gggems.com. [2019-09-02]. (原始内容存档于2019-09-08).
  22. ^ Muhammad Talha Butt, Mineral Habits, Bahria university, 2009-05-18
  23. ^ 23.0 23.1 偏方二十四面體 diplohedron (diploid). 国家教育研究院. [2019-09-01]. (原始内容存档于2019-09-02).
  24. ^ Weisstein, Eric W. Cube-Octahedron Compound. MathWorld--A Wolfram Web Resource.
  25. ^ Weisstein, Eric W. Rhombicuboctahedron. MathWorld--A Wolfram Web Resource.
  26. ^ Scott Sherman. Isohedron 24k. loki3.com. 2012 [2019-09-02]. (原始内容存档于2019-02-18).
  27. ^ Jaap Bax. The Isometric Crystal System. metafysica.nl. 2001-11-26 [2019-09-02]. (原始内容存档于2018-11-29).
  28. ^ Steve Dutch. The 48 Special Crystal Forms. University of Wisconsin Green Bay. 2011-01-20 [2015-05-17]. (原始内容存档于2013-09-18).
  29. ^ 29.0 29.1 29.2 Weisstein, Eric W. Deltoidal Icositetrahedral Graph. MathWorld--A Wolfram Web Resource. [2019-09-06]. (原始内容存档于2019-09-05).
  30. ^ Weisstein, Eric W. Archimedean Dual Graph. MathWorld--A Wolfram Web Resource. [2019-09-06]. (原始内容存档于2019-09-05).

外部链接


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