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高斯-卢卡斯定理

高斯-卢卡斯定理,又称卢卡斯定理,该定理描述了复数系数多项式的一个性质:多项式导数一定在原多项式的根所构成的凸包内。

这一结论曾在1836被高斯直接使用,1874 由菲利克斯·卢卡斯英语Félix Lucas证明[1]

动机

我们注意到,二次多项式 的导数的根为原多项式的两个根的平均数。

同样地,如果一个 次多项式有  个两两不同的实值零点,根据罗尔定理,其导数的每个零点都位于区间 之中。

高斯-卢卡斯定理可以看成这一性质在复系数多项式上的推广。

表述

设  是一个非常数的复系数多项式,那么的所有根都属于由的根构成的凸包。

证明

 将多项式函数P写成复数下的不可约形式: ,其中复数 是多项式的主系数、 是多项式的根、 为各个根的重数。

首先注意到:

假设复数满足:

因此:

乘以共轭取模

写成如下形式:

此时,我们可以将看成是个位于 的质点的重心,因此在其构成的凸包内。

另一种情况下的证明是显然的。

参考

  1. ^ Félix Lucas, Sur une application de la Mécanique rationnelle à la théorie des équations, C.R. Hebd. Séances Acad. Sci. LXXXIX (1879), 224–226 Template:Lire en ligne

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