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长球面坐标系

图 1 )长球面坐标系的几个坐标曲面。红色长球面的 。蓝色半个双叶双曲面的 。黄色半平面的 (黄色半平面与 xz-半平面之间的二面角角度是 )。z-轴是垂直的,以白色表示。 x-轴以绿色表示。三个坐标曲面相交于点 P (以黑色的圆球表示),直角坐标大约为
图 2 )两个焦点在 z-轴的椭圆坐标系绘图。横轴是 x-轴,竖轴是 z-轴。红色椭圆( -等值线)变成上图的红色长球面( 坐标曲面),而 青蓝色双曲线( -等值线)则变成蓝色双叶双曲面( 坐标曲面)。

长球面坐标系(英语:Prolate spheroidal coordinates)是一种三维正交坐标系。设定二维椭圆坐标系包含于 xz-平面;两个焦点 直角坐标分别为 。将椭圆坐标系绕着 z-轴旋转,则可以得到长球面坐标系。(假若,绕着 y-轴旋转,则可以得到扁球面坐标系。)椭圆坐标系的两个焦点,包含于 z-轴。长球面坐标系可以被视为椭球坐标系的极限案例,其两个最短的半轴的长度相同。

基本定义

在三维空间里,一个点 P 的长球面坐标 常见的定义是

其中, 是个实数,弧度 ,弧度

坐标曲面

坐标曲面长球面

每一个长球面都是由椭圆绕着 z-轴旋转形成的。椭球面与 xz-平面的相交,是一个椭圆。沿着 x-轴,椭圆的短半轴长度为 ,沿着 z-轴,椭圆的长半轴长度为 。椭圆的焦点都包含于 z-轴,z-坐标分别为

坐标曲面是半个旋转双叶双曲面

时,坐标曲面在 xy-平面以上;当 时,坐标曲面在 xy-平面以下。

坐标曲面是个半平面 :

标度因子

长球面坐标 的标度因子相等:

方位角 的标度因子为

无穷小体积元素是

拉普拉斯算子

其它微分算子,像 ,都可以用 坐标表示,只要将标度因子代入在正交坐标系条目内对应的一般公式。

应用

当边界条件涉及长球面时,长球面坐标时常可以用来解析偏微分方程式。例如,位置分别在 z-轴两个焦点的电子,会产生怎样的静电场?一个关于氢离子 的问题是,当移动于两个正价的原子核中间时,一个电子波函数是什么?另外一个很实际的问题是,两个小电极尖端之间的电场是什么?极限案例包括一根电线段 () 产生的电场,缺了一线段的一根电线 () 产生的电场。

第二种表述

图 3 )第二种长球面坐标系 的三个坐标曲面。红色长球面的 坐标曲面。蓝色半个旋转双曲面的 坐标曲面 。黄色半平面的 坐标曲面 (黄色半平面与 xz-半平面之间的二面角角度是 )。z-轴是垂直的,以白色表示。 x-轴以绿色表示。三个坐标曲面相交于点 P (以黑色的圆球表示)。直角坐标大约为

另外,还有一种比较有几何直觉性的扁球面坐标系

其中, 是个实数, 是个实数,弧度

扁球面坐标系不同,长球面坐标系并没有简并。在三维空间里,长球面坐标系与直角坐标一一对应关系:

坐标曲面

坐标曲面长球面

每一个长球面都是由椭圆绕着 z-轴旋转形成的。椭球面与 xz-平面的相交,是一个椭圆。沿着 x-轴,椭圆的短半轴长度为 ,沿着 z-轴,椭圆的长半轴长度为 。椭圆的焦点都包含于 z-轴,z-坐标分别为

坐标曲面是半个旋转双曲面

时,坐标曲面在 xy-平面以上;当 时,坐标曲面在 xy-平面以下。

坐标曲面是个半平面 :

任何一点 P 与焦点 的距离 ,可以一个很简单的公式表示:

所以,点 P 与焦点 的距离 ,点 P 与焦点 的距离 。(回想 都是在 z-轴,分别位于 。)

标度因子

第二种长球面坐标 的标度因子分别为:

无穷小体积元素是

拉普拉斯算子

其它微分算子,像 ,都可以用 坐标表示,只要将标度因子代入在正交坐标系条目内对应的一般公式。

应用

如同球坐标解答的形式为球谐函数拉普拉斯方程可以用分离变数法来求解,得到形式为长扁球谐函数的答案。假若,边界条件涉及长球面,我们可以优先选择这方法来解析。

参阅

参考目录

不按照命名常规

  • Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 661. 采用
  • Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 114. ISBN 0-86720-293-9. 如同 Morse & Feshbach (1953) ,采用 来替代
  • Smythe, WR. Static and Dynamic Electricity 3rd ed. New York: McGraw-Hill. 1968.
  • Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 97. 采用混合坐标

按照命名常规

  • Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 177. 采用第一种表述 ,又加介绍了简并的第三种表述
  • Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: p. 180–182. 如同 Korn and Korn (1961) ,但采用余纬度 来替代纬度
  • Moon PH, Spencer DE. Oblate spheroidal coordinates (η, θ, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 28–30 (Table 1.06). ISBN 0-387-02732-7. Moon and Spencer 采用余纬度常规 ,又改名

特异命名常规

  • Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP. Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics) 2nd edition. New York: Pergamon Press. 1984: pp. 19–29. ISBN 978-0750626347. 视长球面坐标系为椭球坐标系的极限。

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