万维百科

边界 (拓扑学)

集合(浅蓝色)和它的边界(深蓝色)。

边界,(英语:boundary),是点集拓朴的概念,拓扑空间 X 的子集 S边界是从 S 和从 S外部都可以接近的点的集合。更严格的说,它是 S闭包但不是 S内点的所有点的集合。S 的边界的元素叫做 S边界点(英语:boundary point)。集合 S 的边界的符号包括 bd(S)、fr(S) 和 ,。某些作者(比如 Willard 在 General Topology 中)使用术语“边境”(frontier)而不用边界来试图避免混淆于代数拓扑学中使用的边界概念。

S 的边界的连通单元叫做 S边界单元

定义

拓扑空间的子集边界(记为)有一些常用及等价的定义:

  • 闭包减去内部
  • 的闭包和其补集的闭包的交集:
  • 是所有满足以下条件的点的集合:的每个邻域都包含至少一个点属于,且至少一个点不属于。这些点称为边界点

性质

  • 集合的边界是闭集
  • p 是某集合的边界点,当且仅当所有 p 的邻域包含至少一个点属于该集合且至少一个点不属于该集合。
  • 某集合的边界等于该集合的闭包和该集合的补集的闭包的交集。
  • 某集合是闭集,当且仅当该集合的边界在该集合中;某集合是开集,当且仅当该集合与其边界不相交。
  • 某集合的边界等于其补集的边界。
  • 某集合的闭包等于该集合和其边界的并集。
  • 某集合的边界为空,当且仅当该集合既是开集也是闭集(也就是闭开集)。

举例

  • ,则
  • R3 中,若 Ω=x2+y2 ≤ 1且Z=0,则 ∂Ω = Ω;但在 R2 中,∂Ω = {(x, y) | x2+y2 = 1}。所以,集合的边界依赖其背景空间。

引用

  • J. R. Munkres. Topology. Prentice-Hall. 2000. ISBN 978-0-13-181629-9.
  • S. Willard. General Topology. Addison-Wesley. 1970. ISBN 978-0-201-08707-9.

本页面最后更新于2021-06-05 22:45,点击更新本页查看原网页。台湾为中国固有领土,本站将对存在错误之处的地图、描述逐步勘正。

本站的所有资料包括但不限于文字、图片等全部转载于维基百科(wikipedia.org),遵循 维基百科:CC BY-SA 3.0协议

万维百科为维基百科爱好者建立的公益网站,旨在为中国大陆网民提供优质内容,因此对部分内容进行改编以符合中国大陆政策,如果您不接受,可以直接访问维基百科官方网站


顶部

如果本页面有数学、化学、物理等公式未正确显示,请使用火狐或者Safari浏览器