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虚功本文重定向自 虛功

(重定向自虚功 (物理))
粒子的运动轨道与虚轨道分别为。在位置、时间,虚位移为。两种轨道的初始位置与终止位置分别为

分析力学里,施加于某物体的作用力,由于给定的虚位移,所做的机械功,称为虚功(英语:virtual work)。以方程表达,虚功

其中,是作用力,是虚位移。

在这篇文章里,位移指的是平移运动所造成的位移或旋转运动所造成的角位移;作用力指的是力量或力矩。虚位移不是实际的位移,而是一种虚构的、理论上的位移,是一种只涉及位置,不涉及时间的变化。每一个虚位移既是自变量independent variable),又是任意设定的。任意性是一个很重要的特性,在数学关系式里,能够推导出许多重要的结果。例如,思考下述矩阵方程:

其中,都是矢量方块矩阵

假若,是个任意非零矢量,则可以将任意项目从方程中除去,得到

虚功原理

虚功原理阐明,一个物理系统处于静态平衡static equilibrium),当且仅当,所有施加的外力,经过符合约束条件的虚位移,所做的虚功的总和等于零[1][2]。以方程表达,

考虑一个由一群质点组成,呈静态平衡的物理系统,其内部任意一个质点可能感受到很多个作用力。这些作用力的总和等于零:

给予这质点 虚位移,则合力所做的虚功为零:

总合这系统内做于每一个质点的虚功,其答案也是零:

将合力细分为外力约束力

假设所有约束力所做的符合约束条件的虚功,其总合是零[3]

则约束力项目可以从方程中除去,从而得到虚功原理的方程:

注意到这推论里的约束力假设。在这里,约束力就是牛顿第三定律反作用力。因此,可以称此假设为反作用力的虚功假设:所有反作用力所做的符合约束条件的虚功,其总合是零。这是分析力学额外设立的假设,无法从牛顿运动定律推导出来[1]

动力学里,虚功原理会被推广为达朗贝尔原理。这原理是拉格朗日力学的理论基础。更详尽细节,请参阅相关条目。

适用案例

在此特别列出几个案例,展示出约束力所做的符合约束条件的虚功的总合是零:

  • 刚体的约束条件是一种完整约束,以方程表达,;其中,刚体内部的质点的位置分别为,它们之间的距离是个常数。所以,两个质点的虚位移之间的关系为
在这里,有两种可能的状况:
1、
对于这状况,由于,两个作用力所做的虚功相互抵销,也就是说,
所以,约束力所做的虚功的总合是零。
2、 :
由于
所以,约束力所做的虚功的总合是零。
所以,在刚体内,质点与质点之间的约束力所作的虚功的总合是零。
  • 思考置放于平滑地面上的一块木块。因为木块的重量,而产生的反作用力,是地面施加于木块的一种约束力。注意到对于这案例,符合约束条件的虚位移必须与地面平行,所以,地面施加的约束力垂直于虚位移,它所作的虚功等于零。[3]

在位形空间的意义

将一般的作用力和坐标分别变换为以广义力广义坐标表达,

设定一个位形空间,其坐标为,其内中表示位置的点称为位形点。想像这物理系统移动于这位形空间。在这位形空间里,广义力垂直于符合约束条件的虚位移

假设,这物理系统没有任何约束条件,则虚位移可以是任意矢量。但是,广义力不可能垂直于维位形空间里的每一个矢量,所以,广义力必须等于零。

假设,这物理系统有个约束条件,则自由度为,位形点必需处于位形空间的某子空间,而广义力必须垂直于这子空间,因此必需使用个运动方程来表达这物理系统。

保守系统

假设这系统是保守系统,则每一个广义力都是标量广义位势函数的对于其对应的广义坐标的负偏导数

虚功与广义位势的关系为

由于位势的变分等于零,一个静态平衡系统的位势乃是个局域平稳值。注意到这系统只处于平稳状态。假设,要求这系统处于稳定状态,则位势必须是个局域极小值

参阅

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 Lanczos, Cornelius, The Variational Principles of Mechanics, Dovers Publications, Inc: pp. 74–87, 1970, ISBN 978-0-486-65067-8
  2. ^ Torby, Bruce, Advanced Dynamics for Engineers, HRW Series in Mechanical Engineering, United States of America: CBS College Publishing: pp. 263, 1984, ISBN 0-03-063366-4 (英语)
  3. ^ 3.0 3.1 Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. Addison Wesley. 1980: pp. 17. ISBN 0201657023 (英语).

外部链接


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