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菱形十二面体

菱形十二面体
菱形十二面体
(点选检视旋转模型)
类别 卡塔兰立体
12
24
顶点 14
欧拉特征数 F=12, E=24, V=14 (χ=2)
面的布局英语Face configuration V3.4.3.4
DU07 facets.png

菱形
顶点布局英语Vertex_configuration 8{3}+6{4}
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png
康威表示法 jC
对称群 Oh英语Octahedral symmetry, B3, [4,3], (*432)
对偶 截半立方体
旋转对称群英语Point_groups_in_three_dimensions#Rotation_groups O, [4,3]+, (432)
二面角 120°[1]:5
特性 凸、面可递英语face-transitive等面英语isohedral figure等边英语isotoxal figure平行体
立体图
Cuboctahedron.png
截半立方体
(对偶多面体)
Rhombicdodecahedron net.svg
(展开图)
菱形十二面体能独立密铺三维空间
菱形十二面体旋转透视图

几何学中,菱形十二面体Rhombic dodecahedron)是一个由菱形构成的十二面体[2],属于卡塔兰立体,由12个全等菱形组成,具有24条边和14个顶点,其对偶多面体截半立方体[3]

性质

菱形十二面体是一个卡塔兰立体,由12个面、24条边和14个顶点[1]:3,其中12面为12个全等的个菱形,且具有180度旋转对称性和点对称性,因此是一个环带多面体[4],其对偶多面体截半立方体

菱形十二面体能独立密铺三维空间,因此是一种空间填充多面体[5],其所形成的堆砌体可以视为是面心立方晶格的沃罗诺伊镶嵌。这种堆砌体体心立方晶格(bcc)的布里元区,部分矿物可以形成于菱形十二面体的晶体惯态[6],如石榴石。蜜蜂筑巢时也是使用菱形十二面体空间填充的几何结构来筑巢,其每个蜂房皆是以半个菱形十二面体为上盖之六角柱的空间填充构成[7][8]。菱形十二面体也出现在钻石金刚石的单位晶格中,但实际上少了4个顶点,而化学键位于剩余的棱上[9]

菱形十二面体可以从中心分割成4个三方偏方面体,若将菱形十二面体空间填充的每一个菱形十二面体都分割成三方偏方面体则可以形成三方偏方面体的空间填充[10][11],这意味着三方偏方面体也可以独立密铺三维空间。这种切割就好像将正六边形镶嵌六边形切割成3个菱形而形成菱形镶嵌

对称性

菱形十二面体的对偶多面体——截半立方体是一个阿基米德立体,具有点可递的性质,因此菱形十二面体具有面可递的性质,这意味着这个几何形状的对称群可在各个面上传递,换句话说,这立体上的任意两个面A和B,若透过旋转或镜射这个立体,使A移动到B原来的位置时,而两个面仍然占据了相同的空间区域[13]

同理,菱形十二面体具有边可递的特性,这意味着,这立体上的任意两条棱A和B,透过旋转或镜射这个立体,使A移动到B原来的位置时,其棱以及其二面角仍然占据了相同的空间区域[14][15][16]。菱形十二面体是9个边可递的凸多面体之一,其他8个分别是五个柏拉图立体、截半立方体、截半二十面体和菱形三十面体。

面的组成

菱形十二面体由12个全等的菱形组成,这个菱形的长对角线都是短对角线2倍,其中锐角的角度则为arccos(1/3)约为70.53°,钝角的角度则为 109.47°[17][1]:5,两条对角线长度与一边长的比为 [18]

DU07 facets.png

尺寸

若菱形十二面体的边长为a,则其内切球半径为:

OEIS中的数列A157697

边心距为:

OEIS中的数列A179587

外接球半径为:

OEIS中的数列A020832

体积和表面积

若菱形十二面体的边长为a,则其表面积A及体积V为:

若令其对偶多面体——截半立方体边长为单位长,则菱形十二面体的边长为,则其体积V[19]

[19]

顶点坐标

Pyritohedron animation.gif
五角十二面体(Pyritohedron[20])是介于立方体和菱形十二面体之间的变体
R1-R3.gif
菱形十二面体的扩展英语Expansion (geometry)

三个菱形之公共顶点(共8个)其顶点坐标[5]

(±1, ±1, ±1)

另外6个顶点为四个菱形之公共顶点,其顶点坐标为[5]

(±2, 0, 0), (0, ±2, 0) 和 (0, 0, ±2)

菱形十二面体可以是为五角十二面体的退化限制,其顶点坐标可表示为(±1, ±1, ±1)(0, 1 + h, 1 − h2),其中h = 1。

正交投影

菱形十二面体有4个特殊的正交投影,分别为于四个菱形的公共顶点投影、于三个菱形的公共顶点投影、于棱上投影和于面上投影,其中“于棱上投影”以及“于面上投影”其对称性对应于B2 和 A2的考克斯特平面[21]

正交投影
投影
对称性
[4] [6] [2] [2]
菱形
十二面体
Dual cube t1 B2.png Dual cube t1.png Dual cube t1 e.png Dual cube t1 v.png
截半立方体
(对偶)
3-cube t1 B2.svg 3-cube t1.svg Cube t1 e.png Cube t1 v.png

其他菱形十二面体

亦有一些十二面体也是由菱形组成,例如比林斯基十二面体英语Bilinski_dodecahedron

平行十二面体

菱形十二面体是一种平行多面体,具有可以独立填满三维空间填充,所形成的几何结构称为菱形十二面体堆砌或平行十二面体堆砌,其对偶可能为半立方体堆砌或由四面体和八面体组成的堆砌。

Rhombic dodecahedra.png
由菱形十二面体堆砌而成的几何结构
Parallelohedron edges rhombic dodecahedron.png
平行十二面体可由四对等长的边组成。

常见的由菱形组成的平行十二面体有二面体群菱形十二面体

二面体群菱形十二面体

二面体群菱形十二面体是一种具有与一般菱形十二面体不同对称性的平行十二面体,同样可以独立填满三维空间,其所形成的几何结构类似于截角八面体堆砌的一个变种[22]

其中一个二面体群菱形十二面体例子,例如由4个正方形和8个60度菱形所组成的平行十二面体,其具有D4h二面体群对称,且阶数为16,其外型看起来与顶面和底面摆入正四角锥的截半立方体类似。

Squared rhombic dodecahedron.png Squared rhombic dodecahedron net.png
展开图
顶点座标
(0, 0, ±2)
(±1, ±1, 0)
(±1, 0, ±1)
(0, ±1, ±1)

比林斯基十二面体

主条目:比林斯基十二面体英语Bilinski_dodecahedron
Bilinski dodecahedron.png
依据其对称性将比林斯基十二面体之前面的面与宽边著上颜色。
Bilinski dodecahedron parallelohedron.png
依照互相平行的边着色

比林斯基十二面体Bilinski dodecahedron)又称为第二种菱形十二面体菱形十二面体第2種[23][24]),是菱形十二面体的另一种基于平行十二面体的变种,由斯坦科·比林斯基英语Stanko Bilinski于1960年发现。

比林斯基十二面体同样由12个菱形组成,但构成此几何体的菱形有两种:其中一种菱形对角线比为2个平方根,另一种菱形对角线比为黄金比例[25][26]

面的种类
第一种 第二种
DU07 facets.png GoldenRhombus.svg
2:1 5 + 1/2:1

使用

菱形十二面体形状的骰子

由于菱形十二面体每个面全等,且十分均匀,因此有时会被拿来做成骰子(但大多数都会使用正十二面体作为骰子)。亦有部分的魔术方块是设计成菱形十二面体的形状[27]

相关多面体与镶嵌

菱形十二面体可以经由立方体透过会合变换构造,即将立方体每个面贴上角锥,并用适当的锥高,使角锥侧面与邻近面上贴的角锥之测面共面来获得。其他也是由立方体透过康威变换得到的多面体有:

半正正八面体家族多面体
对称性: [4,3], (*432) [4,3]+, (432) [1+,4,3], (*332) [4,3+], (3*2)
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Uniform polyhedron-43-t0.svg Uniform polyhedron-43-t01.svg Uniform polyhedron-43-t1.svg Uniform polyhedron-43-t12.svg Uniform polyhedron-43-t2.svg Uniform polyhedron-43-t02.png Uniform polyhedron-43-t012.png Uniform polyhedron-43-s012.png Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-43-h01.svg
{4,3} t0,1{4,3} t1{4,3} t1,2{4,3} {3,4} t0,2{4,3} t0,1,2{4,3} s{4,3} h{4,3} h1,2{4,3}
半正多面体的对偶
CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
Octahedron.svg Triakisoctahedron.jpg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg Hexahedron.svg Deltoidalicositetrahedron.jpg Disdyakisdodecahedron.jpg Pentagonalicositetrahedronccw.jpg Tetrahedron.svg POV-Ray-Dodecahedron.svg
V4.4.4 V3.8.8 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3 V3.4.4.4 V4.6.8 V3.3.3.3.4 V3.3.3 V3.3.3.3.3

菱形十二面体可以切割成截半立方体。在切割过程可以得到一些不同的多面体,例如:

(可能的来源) 倒角立方体
(截边立方体)
截角倒角立方体
(截边截角立方体)
截半倒角立方体
(截边截半立方体)
截半立方体
图像 Rhombic Dodecahedron Before Cutting.svg
菱形十二面体
Chamfered Cube by Cutting Rhombic Dodecahedron.svg
倒角立方体
Rhombicuboctahedron by Cutting Rhombic Dodecahedron.svg
小斜方截半立方体
Truncated Cuboctahedron by Cutting Rhombic Dodecahedron.svg
大斜方截半立方体
Cuboctahedron by Cutting Rhombic Dodecahedron.svg
截半立方体
考克斯特符号英语Coxeter–Dynkin diagram CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
对偶多面体
对偶 Cuboctahedron.png
截半立方体
Tetrakis cuboctahedron.png
四角化截半立方体
Strombic icositetrahedron.png
鸢形二十四面体
Disdyakis dodecahedron.png
六角化八面体
Rhombic dodecahedron.png
菱形十二面体
考克斯特符号英语Coxeter–Dynkin diagram CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png

菱形十二面体与小斜方截半四面体(等价于截半立方体)的对偶多面体等价,其他与正四面体相关的多面体为:

正四面体家族半正多面体
对称性: [3,3], (*332) [3,3]+, (332)
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Uniform polyhedron-33-t0.png Uniform polyhedron-33-t01.png Uniform polyhedron-33-t1.png Uniform polyhedron-33-t12.png Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-33-t02.png Uniform polyhedron-33-t012.png Uniform polyhedron-33-s012.png
{3,3} t0,1{3,3} t1{3,3} t1,2{3,3} t2{3,3} t0,2{3,3} t0,1,2{3,3} s{3,3}
半正多面体对偶
CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
Tetrahedron.svg Triakistetrahedron.jpg Hexahedron.svg Triakistetrahedron.jpg Tetrahedron.svg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg POV-Ray-Dodecahedron.svg
V3.3.3 V3.6.6 V3.3.3.3 V3.6.6 V3.3.3 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3.3

菱形十二面体可以视为由菱形组成的球面镶嵌图,一般菱形镶嵌的菱形锐角顶点是3个菱形的公共顶点,有这种性质的相关多面体与镶嵌包括:

拟正镶嵌对称性 3.4.n.4: V(3.n)2 的变种:
*n32英语Orbifold notation 球面镶嵌英语List of spherical symmetry groups 欧氏镶嵌英语List_of_planar_symmetry_groups 紧凑镶嵌
*332 *432 *532 *632 *732 *832... *∞32
镶嵌图 Uniform tiling 432-t0.png Spherical rhombic dodecahedron.png Spherical rhombic triacontahedron.png Rhombic star tiling.png Order73 qreg rhombic til.png Uniform dual tiling 433-t01-yellow.png Ord3infin qreg rhombic til.png
布局英语Face configuration V(3.3)2 V(3.4)2 V(3.5)2 V(3.6)2 V(3.7)2英语Triheptagonal_tiling V(3.8)2英语Trioctagonal_tiling V(3.∞)2

另一种菱形镶嵌的菱形锐角顶点是4个菱形的公共顶点,而菱形十二面体也属于这类镶嵌。有这种性质的相关多面体与镶嵌包括:

*n42 拟正对偶镶嵌对称性 V(4.n)2 的变种:
对称性
*4n2
[n,4]
球面镶嵌英语List of spherical symmetry groups 欧氏镶嵌英语List_of_planar_symmetry_groups 紧凑镶嵌 仿紧镶嵌 非紧镶嵌
*342
[3,4]
*442
[4,4]
*542
[5,4]
*642
[6,4]
*742
[7,4]
*842
[8,4]...
*∞42
[∞,4]
 
[iπ/λ,4]
镶嵌图
 
布局英语Face configuration
Spherical rhombic dodecahedron.png
V4.3.4.3
Uniform tiling 44-t0.svg
V4.4.4.4
Order-5-4 quasiregular rhombic tiling.png
V4.5.4.5英语Order-5-4 rhombille tiling
Ord64 qreg rhombic til.png
V4.6.4.6
Ord74 qreg rhombic til.png
V4.7.4.7
Ord84 qreg rhombic til.png
V4.8.4.8
Ord4infin qreg rhombic til.png
V4.∞.4.∞
V4.∞.4.∞

此外,菱形十二面体也可以对应到面布局为V3.2n.3.2n的镶嵌图系列中。这个系列的第一种形状时平面镶嵌,其余皆为双曲镶嵌:

Rhombicdodecahedron net2.png
V3.4.3.4
(展开图)
Tile V3636.svg
V3.6.3.6
平面镶嵌
菱形镶嵌
Uniform dual tiling 433-t01.png
V3.8.3.8
双曲镶嵌
(庞加莱圆盘模型)

拓朴同构的多面体

部分多面体与菱形十二面体拓朴同构,例如平行十二面体,亦有一些非菱形组成的十二面体与菱形十二面体拓朴同构,例如鸢形十二面体。

鸢形十二面体

数组(a,b)为(3/4,3/2)定义出的鸢形十二面体之展开图

鸢形十二面体[28][29][30]是一种由24个全等的鸢形组成的十二面体,具有面可递的性质,并具24阶四面体群对称性。

鸢形十二面体可以视为将菱形十二面体的菱形面变形成鸢形的结果。形变的方式是透过调整菱形十二面体的8个顶点,另外四个顶点保持正四面体的布局位置。其形变量可透过一个数组(a,b)来表示,当a和b皆为1时则为菱形十二面体,a表示保持着正四面体的布局位置的顶点,可以逐渐向1/2趋近,向1/2趋近的意义表示其顶点逐渐移向几何中心;而b的值取决于a,需要使移动时能够成平面的鸢形而非扭歪多边形,其值会向正无穷大逼近。这种情形下,其顶点坐标可以表示为:

(±2, 0, 0), (0, ±2, 0), (0, 0, ±2)
(a, a, a), (−a, −a, a), (−a, a, −a), (a, −a, −a)
(−b, −b, −b), (−b, b, b), (b, −b, b), (b, b, −b)

下表列出部分数组(a,b)所形成的鸢形十二面体图像:

数组(a,b) (1,1) (7/8,7/6) (3/4,3/2) (2/3,2) (5/8,5/2) (9/16,9/2)
图像 Rhombic dodecahedron.png Skew rhombic dodecahedron-116.png Skew rhombic dodecahedron-150.png Skew rhombic dodecahedron-200.png Skew rhombic dodecahedron-250.png Skew rhombic dodecahedron-450.png

星形化体

透过将菱形十二面体切割为12个菱形锥可以重新组合成第一种星形菱形十二面体。

如同其他的凸多面体,菱形十二面体也可以透过延伸面或边,直到它们相遇形成新的多面体来进行星形化。多尔曼·露可(Dorman Luke)在他的论文中描述了一些菱形十二面体的星形化体[31]。较广为人知的是他提出的第一种多面体,其名称可以简略地称为“第一种星形菱形十二面体”。这种多面体可以视为将适当锥高的菱形锥(底面为菱形的四角锥)叠在菱形十二面体的每一个菱形面上,并且让锥高高于邻近的面来构造:

对偶复合体

对偶复合体是由一个多面体与其对偶多面体组合成的复合图形。菱形十二面体与其对偶的复合体为复合截半立方体菱形十二面体。其共有26个面、48条边和26个顶点,其尤拉示性数为4,亏格为-1[32]

Dual compound 6-8 max.png

截角菱形十二面体

截去所有顶点后的菱形十二面体称为截角菱形十二面体。

截角菱形十二面体
截角菱形十二面体

若将菱形十二面体的六个发出四条棱的顶点截去可以获得倒角立方体[33]

倒角立方体 倒角立方体的展开图
倒角立方体 倒角立方体的展开图

另外若将菱形十二面体的八个发出三条棱的顶点截去可以获得倒角八面体[4][34]

菱形十二面体截角的结果及其相关多面体
Polyhedron chamfered 6.png
倒角立方体
Polyhedron 6-8 dual.png
菱形十二面体
Polyhedron chamfered 8.png
倒角八面体
Polyhedron chamfered 6 dual.png
四角化截半立方体
Polyhedron 6-8.png
截半立方体
Polyhedron chamfered 8 dual.png
三角化截半立方体

菱形十二面体堆砌

菱形十二面体可以独立填满三维空间,其所形成的几何结构称为菱形十二面体堆砌英语Rhombic dodecahedral honeycomb

HC R1.png

菱形十二面体图

菱形十二面体图
Rhombic Dodecahedral Graph.svg
分布3 (8个)
4 (6个)
顶点14
24
半径4
直径4
围长4
自同构群48
色数2
色指数4
对偶图截半立方体图
属性平面图

图论的数学领域中,与菱形十二面体相关的图为菱形十二面体图,是菱形十二面体之边与顶点的图英语1-skeleton,是一个非哈密顿图[35]

性质

菱形十二面体图有24条边和14个顶点,其中为3的顶点有8个;为4的顶点有6个。

Rhombic dodecahedron skeleton.svg
  • 菱形十二面体图的特征多项式[35]
  • 色多项式[35]
    (x-1) x (x12-23 x11+253 x10-1759 x9+8615 x8-31361 x7+87205 x6-187127 x5+308232 x4-380364 x3+333138 x2-184963 x+48831)

参见

参考文献

  1. Cromwell, P. Polyhedra. United Kingdom: Cambridge. 1997: 79–86 Archimedean solids. ISBN 0-521-55432-2.
  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Robert W. Gray. Encyclopedia Polyhedra: Rhombic Dodecahedron (PDF). rwgrayprojects.com. September 5, 2007 [2018-08-29]. (原始内容存档 (PDF)于2015-07-09).
  2. ^ 埃里克·韦斯坦因. Dodecahedron. MathWorld.
  3. ^ 埃里克·韦斯坦因. Rhombic dodecahedron. MathWorld.
  4. ^ 4.0 4.1 George W. Hart. Zonohedrification. The Mathematica Journal. 1999, vol. 7 (no. 3) [2018-08-29]. (原始内容存档于2018-11-14).
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 Eric W. Weisstein. Rhombic Dodecahedron. 1999-05-25 [2018-08-29]. (原始内容存档于2013-06-03).
  6. ^ Stewart, Ian. What Shape is a Snowflake? Magical Numbers in Nature. Weidenfeld & Nicolson. 2001. pp. 82-84
  7. ^ Nazzi, F. The hexagonal shape of the honeycomb cells depends on the construction behavior of bees. Scientific Reports. 2016, 6: 28341. PMC 4913256. PMID 27320492. doi:10.1038/srep28341.
  8. ^ 微積分的應用─蜂巢的秘密. calfss.edu.hk. [2018-08-29]. (原始内容存档于2018-08-29).
  9. ^ Dodecahedral Crystal Habit 互联网档案馆存档,存档日期2009-04-12.. khulsey.com
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延伸阅读

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  • Wenninger, Magnus英语Magnus J. Wenninger. Dual Models. Cambridge University Press. 1983. ISBN 978-0-521-54325-5. MR 730208. doi:10.1017/CBO9780511569371. (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 19, Rhombic dodecahedron)
  • The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, p. 285, Rhombic dodecahedron )

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