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自然变换

数学范畴论中,自然变换是将一个函子变为另一个函子,使相关范畴的内在结构(就是态射间的复合)得以保持。因此可以将自然变换视为“函子间的态射”。这一看法其实也能形式化,定义出函子范畴。自然变换与范畴及函子一样,都是范畴论很基本的概念。

定义

CD是范畴,FGCD之间的函子。一个从FG自然变换η,对C中每个对象,给出一个在D的对象间的态射ηX : F(X) → G(X),称为η在X处的分量component),使得对C中每个态射f : XY都有:

上式可表达为交换图表

Natural transformation.svg

如果FG都是反变函子,将图表中的水平箭号方向反转。若η是从FG 的自然变换,可记为η : FGη : FG。这也可表达为态射族ηX : F(X) → G(X)X中是自然的。

若对C中每个对象X,态射ηX是在D中的同构,则称η为自然同构。对两个函子FG,若存在从FG 自然同构,则称FG自然同构的,或简称为同构的

自然变换的运算

η : FGε : GH是函子F,G,H : CD间的自然变换,则可以将之复合得到自然变换ε ⋅ η : FH,其分量为(ε ⋅ η)X = εXηX。这种“垂直复合”有结合律,并有单位元。这个复合运算可以使全部函子CD形成一个范畴。(见下节函子范畴。)

自然变换也有“水平复合”。若η : FG是函子F,G : CD间的自然变换,ε : JK是函子J,K : DE间的自然变换,则可用函子间的复合得出自然变换间的复合。这个运算也有结合律,并有单位元,单位元和“垂直复合”的单位元相同。以上两种复合之间有一条恒等式,这条恒等式将垂直和水平复合两者交换。

η : FG是函子F,G : CD间的自然变换,而H : DE是另一个函子,那么自然变换Hη : HFHG定义为

K : BC是一个函子,自然变换ηK : FKGK定义为

函子范畴

C是一个范畴,I是一个小范畴,那么可以形成函子范畴 CI,其对象为所有从IC的函子,而其态射为这些函子间的自然变换。如此形成的是一个范畴,因为对任何函子F都有一个单位自然变换1F : FF(对每个对象X都给出F(X)上的单位态射。),而两个自然变换的复合(上述的“纵向复合”)也是一个自然变换。

函子范畴CI中的同构恰好是自然同构,也就是说一个自然变换η : FG是自然同构,当且仅当存在一个自然变换ε : GF,使得ηε = 1Gεη = 1F

参考

  • Mac Lane, Saunders, Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics 5 2nd, Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98403-8
  • MacLane, Saunders; Birkhoff, Garrett, Algebra 3rd, AMS Chelsea Publishing, 1999, ISBN 0-8218-1646-2.

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