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临界稳定

临界稳定(marginally stable)是在动力系统控制理论中,针对系统稳定性的描述,线性时不变系统若不是渐近稳定,但也不是不稳定,就属于临界稳定。系统若会回到某特定状态,而且会维持在该状态附近(称为稳态),即为稳定。若系统不受限制地离原状态越来越远,即为不稳定。临界稳定的系统介于上述二个情形之间,若离某一稳态一段距离,系统不会回到稳态,但也不会不受限制地偏离稳态。临界稳定有时也称为是随遇稳定(neutral stability)[1]

临界稳定和不稳定都是在控制理论中要设法避免的。理想的控制系统会希望在受到外扰扰动后,当外扰消除后,系统可以回到理想的状态。因此需要设计控制算法以达到此一目的。

计量经济学中,若观察的时间序列中有出现单位根 ,表示有临界稳定,可能会让自变量和因变量回归分析无效,除非利用适当技术,将系统转换为稳定系统才能改善此一情形。

连续时间系统

齐次英语homogeneous differential equation连续线性时不变系统为临界稳定的充份必要条件是:系统传递函数中每个极点的实部都为非正值,且其中有一个或多个极点实部为零,且均为相异的单根,而其他的极点实部为负值。若所有的极点实部都是负值,系统渐近稳定,若有极点实部为正,则系统不稳定。

若系统是以状态空间来表示,可以推导其若尔当标准型,再分析是否临界稳定[2]:系统临界稳定当且仅当其对于实部为0的若尔当区块为标量。

离散时间系统

齐次离散线性时不变系统为为临界稳定的充份必要条件是,传递函数中极点绝对值的最大值为1,且绝对值为1的极点都是相异的单根。也就是说,传递函数的谱半径为1,若谱半径小于1,系统会收敛。

以下是一个一阶线性差分方程英语linear difference equation的例子:假设状态变数 x的方程如下

其参数a > 0。若系统受扰动,偏离,其后续数列会是。若a < 1,不论启始值为何,数列会渐渐接近零。若a > 1,数值会渐渐变到无限大。但若a = 1,数列不会发散,也不会收敛,数列会维持,因此a = 1的例子即为临界稳定。

系统响应

临界稳定是指一系统若给予有限振幅的狄拉克δ函数为输入,系统不会发散到无限大,但也不会收敛到零。输出会持续出现一定大小的偏移或是振荡,一般而言也不会有最终的稳态输出。若连续系统输入的频率恰好是纯虚数极点对应的频率,系统输出会无限制的增加(即为共振[3])。这也就是针对有界输入有界输出稳定性系统,其极点实部需要为负值(不只是非正值而已)的原因。

若连续系统有纯虚数的极点,其输出会有持续的振荡。例如没有阻尼的二阶系统,也就是没有阻尼及摩擦力,弹簧为理想弹簧的弹簧-质量系统即为一例,此时会持续的振荡。另一个例子是没有摩擦力的单摆,其系统在原点处也是临界稳定。

若要临界稳定,需要有极点恰好在虚轴(连续时间系统)上或是在单位圆(离散时间系统)上,因此在实际系统中,除非此系统在本质上就有这种特性,不然很少出现这样的系统。

随机过程

在随机过程中,临界稳定也是很重要的概念,例如有些过程会依循离散时间下的随机游走

其中独立同分布误差,此方程有单位根(其特征方程英语characteristic equation (of difference equation)的特征值有出现1),因此会有临界稳定,需要使用特殊的时间序列技巧,以经验方式为有此方程的系统进行建模。

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参考资料

  1. ^ Gene F. Franklin; J. David Powell; Abbas Emami-Naeini. Feedback Control of Dynamic Systems 5. Pearson Education. 2006. ISBN 0-13-149930-0.
  2. ^ Karl J. Åström and Richard M. Murray. Linear Systems. Feedback Systems Wiki. Caltech. [11 August 2014].
  3. ^ Pure Resonance. MIT. [2 September 2015].

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