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线性组合

线性代数

向量 向量空间 行列式 矩阵

线性组合(英语:Linear combination)是线性代数中具有如下形式的表达式。其中为任意类型的项,为标量。这些标量称为线性组合的系数或权。

定义

为一向量空间(附于)的子集合。

如果存在有限多个向量属于,和对应的标量属于,使得,则称的线性组合。

规定:向量是空集合的线性组合。

线性生成

S F向量空间 V 的子集合。

所有 S 的有限线性组合构成的集合,称为 S 所生成的空间,记作 span(S)。

任何 S 所生成的空间必有以下的性质:

1. 是一个 V 的子空间(所以包含0向量)

2. 几何上是直的,没有弯曲(即,任两个 span(S) 上的点连线延伸,所经过的点必也在 span(S) 上)

线性无关

对于一个向量集 S ={v1,...,vn}, 若向量空间中的单个向量可以写作两个不同的线性组合,

另一种表述方式是,如果将它们相减 () ,得到一个纯量不全等于零的线性组合,而它的值为零:

那么v1,...,vn 称为“线性相关”;否则它们为线性无关。

S是线性无关,而S的生成空间等于V,那么SV

仿射组合,锥组合及凸组合

仿射组合英语Affine combination锥组合英语Conical combination凸组合对线性组合的系数有一定的限制。

组合的种类 系数的限制 集合名 样板空间
线性组合 无限制 向量子空间
仿射组合英语Affine combination 仿射子空间 仿射超平面
锥组合英语Conical combination 凸锥英语Convex cone 象限八分圆英语Octagon (Plane geometry)
凸组合 and 凸集 单纯形

因为这些组合的限制更加严格,所以在这些运算之下的闭合子集也更多。因此,仿射子集,凸锥,和凸集都是向量子空间的一般化形式。所有向量子空间都是仿射子空间,凸锥,也是凸集,但凸集不一定是向量子空间,仿射子空间,或凸锥。

这些概念的产生是由于对于一些特定的数学对象,人们可以采用某些线性组合,但并非任何线性组合:例如,概率分布在凸组合下是闭合的,并且它们形成一个凸集;但在锥组合,仿射组合,或线性组合下不是闭合的。正测度在锥组合下是闭合的,但在仿射或线性组合下不是。因此,我们将带正负符号的测度英语signed measure定义为它的线性闭包。

线性和仿射组合可以在任何域或环上定义,但锥组合和凸组合需要“正数”的概念,因此只能在有序域有序环英语ordered ring上定义,最常见的例子是实数。

如果仅允许乘以标量而不允许相加,则我们得到一个(不一定是凸的)圆锥;通常来说,定义中只允许乘以正标量。

所有这些概念通常都定义为环境向量空间的子集,而不是独立地由公理定义。仿射空间除外,因为仿射空间也可以看作“没有原点的向量空间”。

另见


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