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缉古算经

清代四库全书 缉古算经

缉古算经》,原名《缉古算术》,初唐数学家王孝通著于武德九年〔626年〕前。后被列入算经十书,改名为《缉古算经》。[1]

《缉古算经》一书在中国数学史上有重要影响,王孝通在书中将几何问题代数化,在世界上首次系统地创立三次多项式方程,对代数学的发展,有重要意义。王孝通在此书中建立 25个三次方程,其中自第二问至第十八问中的23个三次方程有如下形式:

剩下第十九问、二十问各有一个双二次方程:

内容

《缉古算经》全书共二十问,书首为《上缉古算术表》。各问题的形式大致相同,每问以“假令”开头,以“问:……各几何?”或“问:……个多少?”结尾;随后是答案:“答曰……”;最后一段是“术曰”,详细叙述建立方程的理论依据和具体程序。每题都有答案,但关于解题方法,王孝通则言简意骇。

第一问

“假令天正十一月朔夜半,日在斗十度七百分度之四百八十。以章岁为母,朔月行定分九千,朔日定小余一万,日法二万,章岁七百,亦名行分法。今不取加时日度。问:天正朔夜半之时月在何处?”。这是一道天文题,求半夜时月亮的赤道经度,王孝通用算术解题。

第二问

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假令太史造仰观台,上广袤少,下广袤多。上下广差二丈,上下袤差四丈,上广袤差三丈,高多上广一十一丈,甲县差一千四百一十八人,乙县差三千二百二十二人,夏程人功常积七十五尺,限五日役台毕。羡道从台南面起,上广多下广一丈二尺,少袤一百四尺,高多袤四丈。甲县一十三乡,乙县四十三乡,每乡别均赋常积六千三百尺,限一日役羡道毕。二县差到人共造仰观台,二县乡人共造羡道,皆从先给甲县,以次与乙县。台自下基给高,道自初登给袤。问:台道广、高、袤及县别给高、广、袤各几何?”。

对于这个建造观象台和台道的广度、高度、深度的计算,王孝通列出三个

形式的三次方程式,和一个形式的三次方程式 。

第三问

“假令筑堤,西头上、下广差六丈八尺二寸,东头上、下广差六尺二寸。东头高少于西头高三丈一尺,上广多东头高四尺九寸,正袤多于东头高四百七十六尺九寸。甲县六千七百二十四人,乙县一万六千六百七十七人,丙县一万九千四百四十八人,丁县一万二千七百八十一人。四县每人一日穿土九石九斗二升。每人一日筑常积一十一尺四寸十三分寸之六。穿方一尺得土八斗。古人负土二斗四升八合,平道行一百九十二步,一日六十二到。今隔山渡水取土,其平道只有一十一步,山斜高三十步,水宽一十二步,上山三当四,下山六当五,水行一当二,平道踟蹰十加一,载输一十四步。减计一人作功为均积。四县共造,一日役华。今从东头与甲,其次与乙、丙、丁。问:给斜、正袤与高,及下广,并每人一日自穿、运、筑程功,及堤上、下高、广各几何?

王孝通解此题,建立了一个二次方程,两个三次方程:

第一个三次方程:


第二个三次方程:

王孝通求得其解:31

第四问

“假令筑龙尾堤,其堤从头高、上阔以次低狭至尾。上广多,下广少,堤头上下广差六尺,下广少高一丈二尺,少袤四丈八尺。甲县二千三百七十五人,乙县二千三百七十八人,丙县五千二百四十七人。各人程功常积一尺九寸八分,一日役毕,三县共筑。今从堤尾与甲县,以次与乙、丙。问:龙尾堤从头至尾高、袤、广及各县别给高、袤、广各多少。”

王孝通 两个三次方程。

  • ;解之得 x=18尺;
  • 解之得 x=33尺;

第五问

“假令穿河,袤一里二百七十六步,下广六步一尺二寸;北头深一丈八尺六寸,上广十二步二尺四寸;南头深二百四十一尺八寸;上广八十六步四尺八寸。运土于河西岸造漘,北头高二百二十三尺二寸,南头无高,下广四百六尺七寸五厘,袤与河同。甲郡二万二千三百二十人,乙郡六万八千七十六人,丙郡五万九千九百八十五人,丁郡三万七千九百四十四人。自穿、负、筑,各人程功常积三尺七寸二分。限九十六日役,河漘俱了。四郡分共造漘,其河自北头先给甲郡,以次与乙,合均赋积尺。问:逐郡各给斜、正袤,上广及深,并漘上广各多少?”

解二次方程,三次方程个一。

三次方程: 得 方仓上底边 x=3尺,下底边=9尺,高=12尺。

第六问

“假令四郡输粟,斛法二尺五寸,一人作功为均。自上给甲,以次与乙。其甲郡输粟三万八千七百四十五石六斗,乙郡输粟三万四千九百五石六斗,丙郡输粟,二万六千二百七十石四斗,丁郡输粟一万四千七十八石四斗。四郡共穿窖,上袤多于上广一丈,少于下袤三丈,多于深六丈,少于下广一丈。各计粟多少,均出丁夫。自穿、负、筑,冬程人功常积一十二尺,一日役。问:窖上下广、袤、深,郡别出人及窖深、广各多少?”

解两个三次方程。

第七问

“假令亭仓上小下大,上下方差六尺,高多上方九尺,容粟一百八十七石二斗。今已运出五十石四斗。问:仓上下方、高及余粟深、上方各多少?”

求谷仓上边长,王孝通所述方法,相当于解一个三次方程[2]


为求余粟深度,王孝通的办法是建立又一个三次方程:

第八问

“假令刍甍上袤三丈,下袤九丈,广六丈,高一十二丈。有甲县六百三十二人,乙县二百四十三人。夏程人功当积三十六尺,限八日役。自穿筑,二县共造。今甲县先到。问:自下给高、广、袤、各多少?”是关于建筑观象台、河堤、粮窖等工程中的土方问题。

解一个三次方程:

得 乙县工程 高 x=72尺; 甲县工程高=120-72=48尺、上广=36尺 、袤=66尺。

第九问

“假令圆囤上小下大,斛法二尺五寸,以率径一周三。上下周差一丈二尺,高多上周一丈八尺,容粟七百五斛六斗。今已运出二百六十六石四斗。问:残粟去口、上下周、高各多少?”

解两个三次方程。

第十问

“假令有粟二万三千一百二十斛七斗三升,欲作方仓一,圆窖一,盛各满中而粟适尽。令高、深等,使方面少于圆径九寸,多于高二丈九尺八寸,率径七,周二十二。问:方、径、深多少?”

解一个三次方程。

第十一问

“假令有粟一万六千三百四十八石八斗,欲作方仓四、圆窖三,令高、深等,方面少于圆径一丈,多于高五尺,斛法二尺五寸,率径七,周二十二。问:方、高、径多少?”

解一个三次方程。

第十二问

“假令有粟三千七十二石,欲作方仓一、圆窖一,令径与方等,方于窖深二尺,少于仓高三尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问:方、径、高、深各多少?”

解一个三次方程。

第十三问

“假令有粟五千一百四十石,欲作方窖、圆窖各一,令口小底大,方面于圆径等,两深亦同,其深少于下方七尺,多于上方一丈四尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问:方、径、深各多少?”

解一个三次方程。

第十四问

“假令有粟二万六千三百四十二石四斗,欲作方窖六、圆窖四,令口小底大,方面与圆径等,其深亦同,令深少于下方七尺,多于上方一丈四尺,盛各满中而粟适尽(圆率、斛法并与前同)。问上下方、深数各多少?”

解一个三次方程。

第十五问

“假令有句股相乘幂七百六十五分之一,弦多于句三十六十分之九。问:三事各多少?”

解一个三次方程: [3]

第十六问

“假令有股弦相乘幂四千七百三十九五分之三,句少于弦五十四五分之二。问:股多少?”

解一个三次方程。


第十七问

“假令有句弦相乘幂一千三百三十七二十分之一,弦多股一、十分之一。问:股多少?”

解一个三次方程。“答曰:九十二五分之二。”

“术曰:幂自乘,倍多而一,为立幂。又多再自乘,半之,减立幂,余为实。又多数自乘,倍之,为方法。又置多数,五之,二而一,为廉法,从。开立方除之,即股(句弦相乘幂自乘,即句幂乘弦幂之积。故以倍股弦差而一,得一股与半差为方,令多再自乘半之为隅,横虚二立廉……倍之为从隅……多为上广即二多……法故五之二而一)。”

王孝通所述,相当于建立一个三次方程[4]


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第十八问

“假令有股弦相乘幂四千七百三十九五分之三,句少于弦五十四五分之二。问:股多少?”

解一个三次方程。


第十九问

“假令有股弦相乘幂七百二十六,句七、十分之七。问:股多少?”

解一个双二次方程。


第二十问

“假令有股十六二分之一,句弦相乘幂一百六十四二十五分之十四。问:句多少?”

解一个双二次方程:

版本

缉古算经》在唐代就有抄本,宋元丰七年(1084年)有秘书监赵彦若等校定刊本,但到明代,刊本几乎遗失,仅存章丘李开先所藏一部南宋刊本。清代毛晋获得《缉古算经》,影抄传世。《缉古算经》影抄本后归常熟毛扆汲古阁收藏;清乾隆年间孔继涵得毛扆汲古阁所藏宋元丰七年《缉古算经》影抄本和其他算书六种,连同戴东原从永乐大典中编辑出的《海岛算经》等书合为十部,一同刻印刊行;孔继涵所刻《缉古算经》,世称为微波谢本。同时《四库全书》又收入吏部侍郎王杰所藏《缉古算经》的毛晋影抄本。微波谢本后佚,影抄本现存北京故宫博物院

清代中期,研究《缉古算经》之风盛行,先后有李潢《缉古算经考注》二卷,张敦仁《缉古算经细草》一卷,陈杰《缉古算经细草》一卷,《缉古算经注》二卷,《缉古算经音义》一卷,及按微波谢本抄录的《缉古算经经文》一卷;揭廷锵《缉古算经考注图草》一卷。

1963年中华书局出版钱宝琮校点多《算经十书》,其中包括《缉古算经》[5]

1998你 郭书春 校点 《缉古算经》 《算经十书》 卷2 辽宁教育出版社。

参考文献

  1. ^ 吴文俊主编 《中国数学史大系》 第四卷 第二章 王孝通 《缉古算经》 199页
  2. ^ Yoshio Mikami, The Development of Mathematics in China and Japan, p55 1912
  3. ^ Yoshio Mikami, The Development of Mathematics in China and Japan p54, 1913. Chelsea Publishing Company, New York
  4. ^ Yoshio Mikami The Development of Mathematics in China and Japan, p55, 1912
  5. ^ 钱宝琮校点 《缉古算经》《李俨.钱宝琮科学史全集》卷 4 371-400
  • 白尚恕 《中国数学史研究》 83-105页 《王孝通缉古算经校证》 ISBN 978-7-703-09242-0
  • Jean Claude Martzloff, A History of Chinese Mathematics,p140-141 Springer ISBN 3-540-33782-2

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