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维面

几何学中,维面Facet)又称为超面hyperface[1])是指几何形状的组成元素中,比该几何形状所在维度少一个维度的元素[5]。也是任何多胞形的边界。而若在维面前加一个整数则代表几何形状的组成元素中,维度为该数的元素,例如在立方体中2维面(2-Face)是指立方体的正方形面。一般来说,维面Facet)不应与面(Face)混淆[6][7]。一般的多胞形皆是以维面的数量命名,例如六边形的维面是边,其共有六条边因此称六边形、八面体的维面是面,其共有八个面因此称八面体。

维面

几何学中,维面多面体多胞形或相关几何结构的特征之一,其通常可以用来描述该几何结构的主要属性。

多面体的维面

在三维几何中,多面体的维面是指所有顶点都是多面体顶点的多边形面。在部分几何结构中有可能存在不是维面的面[6][7]。而维面重组,或称刻面是指找到新的维面形成新的多面体的过程,这个过程有时可以称作星形化,并可以套用到更高维度的几何结构。

多胞形的维面

多面体组合学英语polyhedral combinatorics和一般的多胞形理论中,n维多胞形中的n − 1维元素称为维面。维面也称为(n − 1)维面、(n − 1)面或(n − 1)-面。而在在三维几何学通常称为面而不是维面[8]

单纯复形的维面

单纯复形中,单纯复形的维面是一个单纯复形中最大的单纯形,且这个单纯形不是面也不是其他单纯复形的单纯形。[9]对于单纯多胞形的边界复合体,此定义与多面体组合学一致。

多维面

几何学中,维面一词前面若加一个整数,则代表一几何结构中维度为该整数的元素,此概念不应与维面混淆。例如k维面代表几何结构中维度为k的元素,又称k面k-面k维元素而在更高维度中,有时会称为k维胞,这一用法并未限定元素的所属维度。[2][3][4]例如立方体的多维面包括了空多胞形(负一维面)、顶点(零维面)、边(一维面)、正方形(二维面,一般称面)和其本身(三维面,一般称体)。正式地,对于一个多胞形P,多维面的定义是与一个“不与P内部相交的封闭半空间”的相交几何结构(如交点、交线或交面等)[2][4]。多胞形中的多维面集合中同时也包含了多胞形本身和空多胞形[3][4]

负一维面

正方形中的负一维面、零维面、一维面和二维面。

在抽象几何学中,负一维面是多胞形中的元素集合中,不存在任何元素的子集,[10]对应到集合论中即为空集[11]且所有多胞形都含有空多胞形[12]。这种面通常称为多胞形的极小面(least face)[13]、核维面或零化度(nullity[14])。

零维面

零维面为几何结构中的零维元素,即顶点,通常由几何结构的元素相交于点上形成。[15]

一维面

一维面为几何结构中的一维元素,即边或棱,通常由二个或多个几何结构的元素交于一线而形成。[16]

二维面

二维面为几何结构中的二维元素,通常会省略前面的维度直接称[17]

三维或更高维度的面

三维或更高维度的面通常称为胞[10][18],更高维度的胞通常会以其维度称呼,例如四维胞、五维胞等。[19][20]

n维面

若一个多胞形其维度就是n维,则n维面为该多胞形本身,通常称为,而在抽象几何学中,也称为极大面(Greatest Face)[13],并且与极小面合称非法面(Improper Face)。[21]

(n-1)维面

若一个多胞形其维度就是n维,则其(n-1)维的元素称为维面(Facet)[5]

(n-2)维面

若一个多胞形其维度就是n维,则其(n-2)维的元素称为维脊(Ridge)[22]

(n-3)维面

若一个多胞形其维度就是n维,则其(n-3)维的元素称为维峰(Peak)[23]

参见

参考文献

  1. ^ N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.1 Polytopes and Honeycombs, p.225
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 Matoušek, Jiří, Lectures in Discrete Geometry, Graduate Texts in Mathematics 212, Springer, 5.3 Faces of a Convex Polytope, p. 86, 2002 [2019-09-16], (原始内容存档于2019-06-10).
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 Grünbaum, Branko, Convex Polytopes, Graduate Texts in Mathematics 221 2nd, Springer: 17, 2003 [2019-09-16], (原始内容存档于2013-10-31).
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 Ziegler, Günter M., Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics 152, Springer, Definition 2.1, p. 51, 1995 [2019-09-16], (原始内容存档于2019-06-12).
  5. ^ 5.0 5.1 Matoušek (2002)[2], p. 87; Grünbaum (2003)[3], p. 27; Ziegler (1995)[4], p. 17.
  6. ^ 6.0 6.1 Bridge, N.J. Facetting the dodecahedron, Acta crystallographica A30 (1974), pp. 548–552.
  7. ^ 7.0 7.1 Inchbald, G. Facetting diagrams, The mathematical gazette, 90 (2006), pp. 253–261.
  8. ^ Matoušek, Jiří, Lectures in Discrete Geometry, Graduate Texts in Mathematics 212, Springer, 5.3 Faces of a Convex Polytope, p. 86, 2002 [2019-09-16], (原始内容存档于2019-06-10).
  9. ^ De Loera, Jesús A.; Rambau, Jörg; Santos, Francisco, Triangulations: Structures for Algorithms and Applications, Algorithms and Computation in Mathematics 25, Springer: 493, 2010, ISBN 9783642129711.
  10. ^ 10.0 10.1 H. S. M. Coxeter. Regular Polytopes, Dover Books on Mathematics. Courier Corporation. 2012. ISBN 9780486141589.
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  12. ^ Guy Inchbald. Vertex figures: The complete vertex and general vertex figures. steelpillow. 2005-01-06 [2016-08-02]. (原始内容存档于2016-08-19).
  13. ^ 13.0 13.1 McMullen, P. and Schulte, E. Abstract Regular Polytopes. Abstract Regular Polytopes. Cambridge University Press. 2002. ISBN 9780521814966. LCCN 02017391.
  14. ^ N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite Symmetry Groups, 11.1 Polytopes and Honeycombs, p.226
  15. ^ Heath, Thomas L. The Thirteen Books of Euclid's Elements 2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925]. New York: Dover Publications. 1956.
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  16. ^ Wenninger, Magnus J., Polyhedron Models, Cambridge University Press: 1, 1974 [2019-09-16], ISBN 9780521098595, (原始内容存档于2015-03-21).
  17. ^ Cromwell, Peter R., Polyhedra, Cambridge University Press: 13, 1999 [2019-09-16], (原始内容存档于2019-06-13)
  18. ^ Weisstein, Eric W. (编). Cell. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语).
  19. ^ Ditela, polytopes and dyads. [2019-09-16]. (原始内容存档于2018-10-18).
  20. ^ 施开达, 马利庄. 正则多胞形和 N 维空间有限旋转群理论的一些新结果. 自然科学进展: 国家重点实验室通讯. 1999, 9 (A12): 1336––1341.
  21. ^ Araujo-Pardo, Gabriela and Hubard, Isabel and Oliveros, Deborah and Schulte, Egon. Colorful polytopes and graphs. Israel Journal of Mathematics (Springer). 2013, 195 (2): 647––675.
  22. ^ Matoušek (2002)[2], p. 87; Ziegler (1995)[4], p. 71.
  23. ^ Nishio, Kengo and Miyazaki, Takehide. Describing polyhedral tilings and higher dimensional polytopes by sequence of their two-dimensional components. Scientific reports (Nature Publishing Group). 2017, 7: 40269.

外部链接


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