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精细结构

氢原子的精细结构图:左边是玻尔能级线谱,中间是经过修正后,线谱的精细结构,右边是线谱的超精细结构。

原子物理学里,因为一阶相对论性效应,与自旋-轨道耦合,而产生的原子谱线分裂,称为精细结构

非相对论性、不考虑自旋电子产生的谱线称为粗略结构类氢原子的粗略结构只与主量子数有关;更精确的模型,考虑到相对论效应与自旋-轨道效应,能够分解能级简并,使谱线能更精细地分裂。相对于粗略结构,精细结构是一个效应;其中,原子序数精细结构常数

精细结构修正包括相对论性的动能修正与自旋-轨道修正。整个哈密顿量

其中,是零摄动哈密顿量,动能修正,是自旋-轨道修正。

相对论性修正

经典哈密顿量的动能项目是

其中,是动能,动量质量

可是,若加入狭义相对论的效应,我们必须使用相对论形式的动能:

其中,光速

请注意在这方程的右手边,平方根项目是总相对论性能量,项目是电子的静能量。假设,则可以用泰勒级数展开平方根项目:

哈密顿量的动能修正是

将这修正当作一个小摄动,根据量子力学摄动理论,我们可以计算出相对论性的一阶能量修正

其中,主量子数,零摄动波函数本征能量本征函数,精细结构常数

回想零摄动哈密顿量的关系方程:

零摄动哈密顿量等于动能加上势能

将势能移到公式右手边:

将这结果代入的公式:

类氢原子的势能是;其中,单位电荷量是径向距离。经过一番繁琐的运算[1] ,可以得到

其中,玻尔半径角量子数

将这两个结果代入,经过一番运算,可以得到相对论修正:

自旋-轨道修正

当我们从标准参考系原子核的静止参考系;原子核是不动的,电子运动于它环绕着原子核的轨道)改变至电子的静止参考系(电子是不动的,原子核运动于它环绕着电子的轨道)时,我们会遇到自旋-轨道修正。在这状况,运动中的原子核有效地形成了一个电流圈,这会产生磁场 .可是,因为电子的自旋,电子自己拥有磁矩。两个磁矢量共同耦合.这使得哈密顿量内,又添加了一个项目:

其中,真空电容率角动量自旋

设定总角动量。应用一阶摄动理论,由于,这四个算符都互相对易,这四个算符也都互相对易。这四个算符的共同本征函数可以被用为零摄动波函数;其中,是总角量子数,是自旋量子数。那么,经过一番运算,可以得到能级位移

总和

相对论性修正与自旋-轨道修正的总和是

其中,

的这两个数值分别代入总合方程里,经过一番运算,可以得到同样的结果:

总结,修正后,取至一阶,电子的总能级为,

 ;

其中,是电子的基态能级,精细结构常数

更精确的结果

从狄拉克方程直接求解得到的结果是[2]

其一阶近似就是上面的结果。

参阅

参考文献

  1. ^ Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 266–276. ISBN 0-13-111892-7.
  2. ^ Dirac Equation and Hydrogen Atom (PDF). [2014-09-10]. (原始内容存档 (PDF)于2016-03-05).
  • Liboff, Richard L. Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley. 2002. ISBN 0-8053-8714-5.

外部链接


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