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等腰三角形

等腰三角形
Triangle.Isosceles.svg
等腰三角形
3
顶点3
施莱夫利符号{3} (底角和顶角相等)
面积
  • 底边
  • 底边的高
内角60° (底角和顶角相等时)
  • 底角
  • 顶角
对偶相似等腰三角形

在几何学中,等腰三角形(英语:isosceles triangle)是指至少有两等长或相等三角形,因此会造成有2个角相等。相等的两个边称等腰三角形的腰,另一边称为底边,相等的两个角称为等腰三角形的底角,其余的叫做顶角[1]

等腰三角形的重心、和垂心都位于顶点向底边的垂线,可以把等腰三角形分成两个全等的直角三角形[2]

等边三角形是底边和腰等长的等腰三角形,是等腰三角形的一个特殊形式。若等腰三角形的顶角为直角,称为等腰直角三角形

命名

等腰三角形在英文中称为isosceles,来自希腊文,意思是“等长的脚”[2]

性质

等腰三角形具有下列性质[1]:P.204

  • 两底角相等
  • 顶角的角平分线、底边的中线和高互相重合
  • 当腰长等于底边长时,则底角和顶角为60度(即等边三角形)
边长

面积
周长

等腰三角形定理

若一三角形的二边相等,则二边的对角相等,此定理列在欧几里德的《几何原本》中,称为驴桥定理,也是等腰三角形定理。驴桥定理是在几何原本的前面出现的较困难命题,是数学能力的一个门槛[3],无法理解此一命题的人可能也无法处理后面更难的命题。

驴桥定理的逆定理是若一三角形的二角相等,则二角的对边相等。

等腰三角形的全等

若二等腰三角形,其腰相等,底边也相等,即可以用SSS全等证明二个等腰三角形全等,而三角形的角可以用余弦定理求得。

等腰三角形的相似

等腰三角形的顶角 和底角有以下的关系:

已知其中一个就可以知道另一个,若二等腰三角形的顶角相等或底角相等,即可以用AAA相似证明二个等腰三角形全等,各边的关系可以用正弦定理求得。

对称轴

等腰三角形为轴对称,其对称轴和底边的中垂线中线及顶角的角平分线重合(三线合一)[4]。等腰三角形的内心外心重心垂心顶点所对旁心五心共线,都在对称轴上[5]

Isosceles-triangle-more.svg 等腰三角形
  •   对称轴
  •   中垂线和外心
  •   中线和重心
  •   角平分线和内心

和其他图形的关系

  • 二个底边相等的等腰三角形可以组合成一个鹞形,此鹞形有一个对称轴,即为二等腰三角形的高。
  • 二个全等的等腰三角形可以组合成一个菱形,此菱形有二个对称轴,包括二等腰三角形的高,以及等腰三角形的底边。
  • 圆锥的投影图中有一面即为等腰三角形。
  • 扇形的二半径和扇形的弦相连,也是等腰三角形。

相关条目

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 《中学数学实用辞典》ISBN 957-603-093-5 九章出版.
  2. ^ 2.0 2.1 《图解数学辞典》天下远见出版 P.37 三角形 ISBN 986-417-614-5
  3. ^ 吴任哲. 利用『驢橋定理』探討國中教師之數學教學. HPM通讯第四卷8,9期合刊. [2013-08-21].
  4. ^ 云南教育编辑部. 云南教育. 云南省教育厅. 1991.
  5. ^ 何思谦. 数学辞海. 山西敎育出版社. 2002.

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