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稳定多项式

在探讨微分方程或是差分方程特征方程英语Characteristic equation (calculus)时,多项式若满足任一个性质,即称为稳定

第一个条件是连续时间英语continuous-time线性系统的稳定条件,第二个条件则是离散时间英语discrete-time线性系统的稳定性条件。若符合第一个条件的多项式称为赫尔维茨多项式,第一个条件的多项式则是舒尔多项式英语Schur polynomial。稳定多项式常出现在控制理论中,也应用在微分方程及差分方程的数学理论中。线性时不变系统(参照线性时不变系统理论)为BIBO稳定的条件是所有有界输入的输出都是有界。若线性系统的特征方程为稳定多项式,系统则为BIBO稳定系统。若是连续时间系统,其分母需为赫尔维茨多项式,若是离散时间系统,其分母需为舒尔多项式。实务上,可以透过一些稳定性判据来判断稳定性。

性质

是在莫比乌斯变换 后的结果,将左半平面映射到开集的单位圆内。P为舒尔稳定,当且仅当Q为赫尔维茨稳定而且。针对高次的多项式可以用其他的测验方式(例如Schur-Cohn测试、Jury稳定性判准英语Jury stability criterion或是Bistritz稳定性判准英语Bistritz stability criterion)来判定,可以避免映射上的复杂计算。

  • 必要条件:(实系数的)赫尔维茨稳定多项式其系数符号都相同(均为正数或是均为负数)。
  • 充份条件:(实系数的)多项式若满足以下条件::

则多项式为舒尔稳定。

  • 乘积律:二个(同样考虑赫尔维茨稳定或舒尔稳定)多项式fg都稳定的充份必要条件为其乘积fg稳定。

例子

  • 为舒尔稳定,因为满足充份条件。
  • 为舒尔稳定(因为所有的根都为零),但不满足充份条件。
  • 不是赫尔维茨稳定(其根为-1,2),因为其违反了必要条件。
  • 是赫尔维茨稳定(其根为-1,-2)。
  • 多项式 (都是正系数),既不是赫尔维茨稳定,也不是舒尔稳定,其根为5次单位根中的4个原根
注意
这是舒尔稳定的临界情形,因为根恰好在单位圆上,也看到上述的赫尔维茨稳定条件(根均为正)只是必要条件,不是充份条件。

外部链接

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