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相交

数学中,相交是两个几何图形之间关系的一种。两个图形相交是指它们有公共的部分,或者说同时属于两者的集合不是空集。若两个几何图形在某个地方有且只有一个交点,则可以称为相切而不是相交。如果两个图形完全重合,则一般不称为相交。

集合论中,两个集合相交是指它们的交集不是空集。

直线的相交

欧几里得平面上,两条直线要么平行,要么相交,要么重合。这时欧几里得第五公设的推论。相交的两条直线恰好有一个交点。在非欧几何中,按几何特性(曲率),可以分为两类。罗巴切夫斯基几何中两条直线要么平行,要么相交,但平行线不止一条。黎曼几何中两条直线总是相交。

三维空间或更高维空间中,两条直线相交则必定共面。

圆的相交

欧几里得几何中,同一平面上的两个之间的关系有四种:相离、相切、相容和相交。相离指两圆没有交点而且没有一个圆在另一个圆内部。相切是指两圆只有一个交点。相交是指两圆有多于一个交点。相容是指两圆没有交点且一个圆在另一个内部。

两个圆相交当且仅当两个圆心之间的距离严格小于两圆的半径之和,并严格大于两圆的半径之差。

解析几何中的判别方法

在平面解析几何中,设两条直线的方程为:

那么 相交当且仅当行列式

不等于零。

对于两圆相交,设两个圆的方程是:

那么 相交当且仅当

例子

直线

  • 设两条直线的方程是:

由于行列式:,两直线相交。交点为

  • 设两条直线的方程是:

由于行列式:,两直线不相交(实际上平行)。

  • 设两个圆的方程是:

这时两个圆心的距离是:,因此两圆相交。

参见

参考来源

  • R.A.约翰逊 著,单壿 译. 近代欧氏几何学. 上海教育出版社. 1999. ISBN 7-532-06392-0 请检查|isbn=值 (帮助).
  • 盛为民. 解析几何学. 浙江大学出版社. 2008. ISBN 7-308-06149-0 请检查|isbn=值 (帮助).

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