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皮克定理

给定顶点座标均是整点(或正方形格子点)的简单多边形皮克定理说明了其面积和内部格点数目、边上格点数目的关系:

证明

因为所有简单多边形都可切割为一个三角形和另一个简单多边形。考虑一个简单多边形,及跟有一条共同边的三角形。若符合皮克公式,则只要证明加上亦符合皮克公式(I),与及三角形符合皮克公式(II),就可根据数学归纳法,对于所有简单多边形皮克公式都是成立的。

多边形

的共同边上有个格点。

  • 的面积:
  • 的面积:
  • 的面积:

三角形

证明分三部分:证明以下的图形符合皮克定理:

  1. 所有平行于轴线的矩形;
  2. 以上述矩形的两条邻边和对角线组成的直角三角形;
  3. 所有三角形(因为它们都可内接于矩形内,将矩形分割成原三角形和至多3个第二点提到的直角三角形)。

矩形

设矩形长边短边各有,个格点:

直角三角形

易见两条邻边和对角线组成的两个直角三角形全等,且,相等。设其斜边上有个格点。

一般三角形

逆运用前面对2个多边形的证明: 既然矩形符合皮克定理,直角三角形符合皮克定理。又前面证明到若P,T符合皮克公式,则 P加上T的PT亦符合皮克公式。 那么由于矩形可以分解成1个任意三角形和至多三个直角三角形。 于是显然有,只有当这个任意三角形也符合皮克定理的时候,才会使得在直角三角形符合的同时,矩形也符合。

推广

  • 取格点的组成图形的面积为一单位。在平行四边形格点,皮克定理依然成立。套用于任意三角形格点,皮克定理则是
  • 对于非简单的多边形,皮克定理,其中表示欧拉特征数
  • 高维推广:Ehrhart多项式;一维:植树问题。
  • 皮克定理和欧拉公式(等价

定理提出者

Georg Alexander Pick,1859年生于维也纳,1943年死于特莱西恩施塔特集中营

相关书籍

外部链接


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