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球 (数学)本文重定向自 球 (数学)

欧氏空间里,是指球面的内部。

(英语:ball)在数学里,是指球面内部的空间。球可以是封闭的(包含球面的边界点,称为闭球),也可以是开放的(不包含边界点,称为开球)。

球的概念不只存在于三维欧氏空间里,亦存在于较低或较高维度,以及一般度量空间里。维空间里的球称为维球,且包含于维球面内。因此,在欧氏平面里,球为一圆盘,包含在内。在三维空间里,球则是指在二维球面边界内的空间。

欧氏空间里的球

维欧氏空间里,一个中心为 ,半径为 维(开)球是个由所有距 的距离小于 的点所组成之集合。一个中心为 ,半径为 维闭球是个由所有距 的距离小于等于 的点所组成之集合。

维欧氏空间里,每个球都是某个超球面内部的空间。在一维时,球是个有界的区间;在二维时,是某个的内部(圆盘);而在三维时,则是某个球面的内部。

体积

维欧氏空间里,半径 的球之 维体积为[1]

其中,Γ是李昂哈德·欧拉Γ函数(可被视为阶乘实数的延伸)。使用Γ函数在整数与半整数时的公式,可不需要估算Γ函数即可计算出球的体积:

在奇数维度时的体积公式里,对每个奇数双阶乘 (2k + 1)!! 定义为 (2k + 1)!! = 1 · 3 · 5 ··· (2k − 1) · (2k + 1)。

一般度量空间里的球

令 (M,d) 为一度量空间,即具有度量(距离函数)d 的集合 M。中心为 M 内的点 p,半径为 r > 0 的开球,通常标计为 Br(p) 或 B(pr),定义为

其闭球,可标计为 Bt[p] 或 B[pr],则定义为

请特别注意,一个球(无论开放或封闭)总会包含点 p,因为依定义, r > 0。

开球的闭包通常标记为 。虽然 总是成立的,但 则不一定总是为真。举例来说,在一个具离散度量的度量空间 X 里,对每个 X 内的 p 而言,,但

一个(开或闭)单位球为一半径为 1 的球。

度量空间的子集是有界的,若该子集包含于某个球内。一个集合是全有界的,若给定一正值半径,该集合可被有限多个具该半径的球所覆盖。

度量空间里的开球为拓扑空间里的,其中所有的开集合均为某些(有限或无限个)开球的联集。该拓扑空间被称为由度量 d 导出之拓扑。

赋范向量空间里的球

每个具范数 |·| 的赋范向量空间亦为一度量空间,其中度量 d(x, y) = |x − y|。在此类空间里,每个球 Br(p) 均可视为是单位球 B1(0) 平移 p,再缩放 r 后所得之集合。

前面讨论的欧氏空间里的球亦为赋范向量空间里球的一例。

p-范数

在具 p-范数 Lp笛卡尔空间 里,开球是指集合

在二维(n=2)时,L1(通常称为曼哈顿度量)的球是对角线平行于坐标轴的正方形;而 L切比雪夫度量)的球则是个边平行于坐标轴的正方形。对于 p 的其他值,该球则会是超椭圆的内部。

在三维(n=3)时,L1 的球是个对角线平行为坐标轴的八面体,而 L 的球则是个边平行为坐标轴的正立方体。对于 p 的其他值,该球则会是超椭球的内部。

一般凸范数

更一般性地,给定任一 Rn中心对称有界开放的集合 X,均可定义一个在 Rn范数,该球均为 X 平移再一致缩放后所得之集合。须注意,若将此定理内的“开”子集以“闭”子集替代,则定理不能成立,因为原点也符合定理内所定之集合,但无法定义 Rn 内的范数。

拓扑空间里的球

拓扑学的文献里,“球”可能有两种含义,由上下文决定。

开集

“(开)球”一词有时被非正式地用于指代任何开集:可以用“p 点周围的一个球”代表包含p 的一个开集。该集合同胚于什么依赖于背景拓扑空间以及所选取的开集。同样,“闭球”有时用于表示这样一个开集的闭包。(这可能产生误导,例如超度量空间中一个闭球不是同样半径的开球的闭包,它们都是既开且闭的。)

有时,邻域用于指代这个意义上的球,但是邻域其实有更一般的意义:p 的一个邻域是任何包含一个p 的开集的集合,因此通常不是开集。

拓扑球

X 内的 n 维(开或闭)拓扑球是指 X 内同胚于 n 维(开或闭)欧几里得球的任一子集,该子集不一定需要由某个度量导出。n 维拓扑球在组合拓扑学里很重要,为建构胞腔复形的基础。

任一 n 维开拓扑球均同胚于笛卡尔空间 Rn 及 n 维开单位超方形 。任一 n 维闭拓扑球均同胚于 n 维闭超方形 [0, 1]n

n 维球同胚于 m 维球,当且仅当 n = m。n 维开球 B 与 Rn 间的同胚可分成两种类型,以 B 的两种可能之拓扑定向来区分。

一个 n 维拓扑球不一定是光滑的;若该球是光滑的,亦不一定需微分同胚于一 n 维欧几里得球。

另见

参考文献

  • D. J. Smith and M. K. Vamanamurthy, "How small is a unit ball?", Mathematics Magazine, 62 (1989) 101–107.
  • "Robin conditions on the Euclidean ball", J. S. Dowker [1]
  • "Isometries of the space of convex bodies contained in a Euclidean ball", Peter M. Gruber[2][永久失效链接]

参见


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