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球面三角学

球面三角

球面三角学球面几何学的一部分,主要在处理、发现和解释多边形 (特别是三角形) 在球面上的角与边的联系和关联。在天文学上的重要性是用于计算天体轨道和地球表面与太空航行时的天文导航。

球面上的线

在球壳的表面,最短的距离是大圆上接近直线的弧线,也就是圆弧的圆心与球壳的球心是同一点。例如:地球上的子午线赤道都是大圆。所谓行星表面的直线,就是球面上两点之间最近距离的大圆弧线(如果把自己拘束在球面上的直线上)。

在球面上,由大圆的所包围的区域称为球面多边形,但要注意,不同于平面上的情形,在球面上二角形是可能存在的。(两个弧夹出两个角的三角形类似物)

这些多边形的边长(弧长),可以利用球心角很方便的来测定,将弧的两端所对应的球心角乘上半径便是边长。要注意的是,这些角都必须用弪度量来量度。.

因此,对一个球面三角形而言,是由他的弧长与球心角来具体描述的,只是弧的长度是用弪度量来标示。

值得注意的是,球面三角形的三个内角的和总是大于180°,但在平面上只有180°。超过180°的数值称为球面剩余 E:E = α + β + γ - 180°,这些结余给出了球面三角形的面积。确定这个值,球面剩余必须以弪度量来测定,表面积A依据球面的半径和球面剩余来测量:

A = R2 · E

这是高斯-博内定理,这很明显的显示没有相似的球面三角形(三角形有相同的角,但邊長和面積不同)。而在特殊的情况下,球的半径为1,则球面三角形的面积A = E。

要解球面几何的问题,要点是能剖析出其中的直角三角形(三个角中有一个是90°),因为这样就可以利用纳皮尔的多边形求解。

纳皮尔的圆周显示直角三角形的部分关联性

利用纳皮尔多边形(也称为纳皮尔圆周)的口诀可以很轻易的记住球面直角三角形的所有关联性: 以他们出现于球面三角形的顺序,依照相邻的边角关系,依序将三角形的六个角写在一个圈子内,也就是开始以一个角度开始,然后在它旁边写上相邻的边的弧角度,继续再写下下一个角度,···,最后结束成一个圆。然后删除90°的角角度并且将它相邻的弧角度替换成他们补角的数值(与原角弧度之和为90°) (也就是将 a 换成 90° − a)。 现在,这五个数组成了我们需要的纳皮尔多边形(纳皮尔圆周),从这儿,可以得到每个角度的余弦值等于:

  • 相邻两角度的余切的乘积
  • 相对两角度的正弦的乘积

可以参考半正矢(Haversine formula),能在球面三角上解析弧长与角度,为航海学提供了稳定的模式。

恒等式

余弦定理

余弦定理是球面三角学的基本恒等式,球面三角学中的其他恒等式都可以由余弦定理导出。

当三角形的边长远小于球面半径时,该公式与平面三角的余弦定理近似相等。

正弦公式

球面上的正弦定理可表示为:

当三角形的边长远小于球面半径时,该公式与平面三角的正弦定理近似相等。

更详尽的公式列表可以点选:此处

参见

外部链接


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