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无效证明

数学里,有着许多明显矛盾的虚假证明存在。即使其证明是有缺陷的,其错误-通常是经过设计的-却常是较难抓摸的。这些谬误一般都尽止于好奇而已,但可以被使用显示严谨在数学中的重要性。

大多数此类的证明都仰赖著同种错误的变形。此一错误为采一非单射函数,以观察对某些,会有,来(错误地)做出的结论。零除数是此类错误的一特例;为将映射至的函数,而其错误的一步是起于将的等式做成的结论。相似地,下面证明了的句子也是以函数的同一种错误造成的。其错误的一步始于有某个会使得的一正确申论,然后做出了的一错误结论。

算术例子

证明1是最大的正整数

  • 假设最大的正整数不是,而是,有
  • 为正的,所以由得到
  • 但是还是正整数,可是没有任何正整数比大,矛盾;
  • 所以最大的正整数是1

Q.E.D.

此一证明是无效的,因为最大的正整数不存在,因此不能如此假设。

证明1等于-1

  • 由一等式开始
  • 将两边转成假分数
  • 将两边开方
  • 其会等于
  • 两边同乘以来消去分数
  • 但任一数的开方之平方会给出原本的数来,故

Q.E.D.

此一证明是无效的,因为负数的开方不是实数,推出是错误的(事实上,)。

证明1等于2

1.令,且

2.将两边乘以a

3.将两边减掉

4.将两边因式分解

5.将两边除以

6.因为因此

7.简化

8.将两边除以b

Q.E.D.

这个证明的错误点在于第五步,正因为a=b所以a-b等于,而除以零是无效的。

证明4等于5

  • 由一等式开始
  • 将等式两边以稍微不同但相等的方式表示
  • 将两边做因式分解
  • 将两边加上相同的数
  • 将两边再做一次因式分解
  • 将两边开方
  • 消去相同的项

Q.E.D.

那一证明内的错误在于不表示的这一事实。到此之前的算术都是正确的,而事实上,。需注意的是,若将4减去,会得到。若再平方的话,则会得到正的。其下一个逻辑的数学步骤为取两边的平方。若这样做的话,则将会看见会等于。原始的式子事实上是会导致一个正确的等式的(若此一问题是以此一纯粹的方式运算的话)。

证明1+1=0

Q.E.D.

此证明的错误在于只有在a与b不皆为负数才成立,并不等于

证明0=1

首先,设定一个无穷级数。

因为,因此:

拆括号之后在于不同的地方加上括号:

,因此:

Q.E.D.

这个证明的错误在于,无穷等比级数在公比的绝对值大于等于一的情况下,将括号插入无穷级数求无穷和是没有意义的,因为这样的无穷等比级数和发散。因此这类条件不适用于格兰迪级数

证明0/0等于0

首先,我们知道:

由于

因此

因此

Q.E.D.

这个证明的错误在于,成立的前提有

证明任意两数都是相等的


和立方差立方公式可知:

由于

代入,可得:

因此:

代入,可得:

Q.E.D.

这个证明的错误在于:

1、在以上的假设下,可得,所以并不是独立的;

2、在复数域中,由得不出。在此证明中,由得出是错误的。

几何例子

第一题:证明任何三角形都是正三角形

第一题错误的证图
第一题正确的证图
第二题错误的证图
第二题正确的证图

给定三角形△ABC,证明AB = AC:

  1. 作∠A的角平分线
  2. 作BC的垂直平分线,并设BC的中点为D。
  3. 设这两条直线的交点为P。
  4. 从P向AB和AC作垂线,并设垂足为E和F。
  5. 作直线PB和PC。
  6. △EAP ≅ △FAP(AP = AP;∠PAF ≅ ∠PAE由于AP平分∠A;∠AEP ≅ ∠AFP都是直角)。
  7. △PDB ≅ △PDC(∠PDB、∠PDC是直角;PD = PD;BD = CD由于PD平分BC)。
  8. △EPB ≅ △FPC(EP = FP由于△EAP ≅ △FAP;BP = CP由于△PDB ≅ △PDC;∠EPB ≅ ∠FPC由于它们是对顶角)。
  9. 因此,AE ≅ AF,EB ≅ FC,AB = AE + EB = AF + FC = AC。
  10. 同理,AB = BC,AC = BC。

证毕。

这个证明的错误在于,只有在△ABC为等腰三角形,P才会位于三角形的内部,而且AP与DP会重合。

第二题:证明直角等于钝角

给定一个矩形ABCD,证明∠DCB=∠ECB;

  1. 在矩形ABCD外作CE=CD。
  2. 联结AE。
  3. 作BC、AE的中垂线,它们的垂足分别是G、F,两条直线交于H。
  4. 在中垂线上的点到线段两端的距离是相等的,所以HA=HE,HB=HC。
  5. 矩形的对边相等,得AB=DC;加上作图要求,得AB=EC。
  6. 利用S.S.S得△ABH≅△ECH。于是得∠ABH=∠ECH。
  7. 由于HB=HC,则得∠HBC=∠HCB。
  8. 等量减等量,得∠ABC=∠ECB。
  9. 矩形的四个角都是90°,得∠ABC=∠ECB=90°。

Q.E.D.

这个证明的错误在于,由于△ABH≅△ECH,则∠BHA=∠CHE,即∠AHE=∠BHC-∠BHA+∠CHE,可以把∠AHE看作是∠BHC的旋转,因AH穿过了矩形ABCD,则EH是不可能穿过矩形ABCD的。

微积分例子

证明0等于1

我们从计算以下的不定积分开始:

利用分部积分法,可得:

因此:

所以,有:

证毕。

这个证明的错误在于,忽略了积分完会出现的积分常数C。若继续计算,会得到

参见


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