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正方形
Regular polygon 4 annotated.svg
一个正四边形
类型正多边形
4
顶点4
对角线2
施莱夫利符号{4}
t{2}
考克斯特图英语Coxeter diagramCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
对称群二面体群 (D4), order 2×4
面积
内角90°
内角和360°
对偶正四边形 (本身)
特性圆内接多边形等边多边形英语Equilateral polygon、等角多边形、isotoxal figure英语isotoxal figure

平面几何学中,正方形是四边相等且四个角是直角的四边形[1]。正方形是正多边形的一种:正四边形。四个顶点为ABCD的正方形可以记为 ABCD

正方形是二维的超方形,也是二维的正轴形

性质

正方形是正四边形,是特殊的矩形、对称四边形、平行四边形。其四个内角为直角。除了四边四角相等的性质,正方形还有以下性质:

面积和周长

正方形的面积是其边长的平方

正方形的周长是它的边长的4倍。如果边长为a,那么周长。正方形的面积是其边长的平方。如果边长为a,那么面积。如果我们知道正方形的对角线长d,那么我们也可以之计算面积,如果正方形边心距为r,外接圆半径是R,那么。,

若正方形的边长为整数,其面积就是一个完全平方数。在周长固定时,正方形的面积一定大于其他非正方形的四边形的面积。

对称性

正方形是一种高度对称的平面图形,它关于两条对角线的交点中心对称(这个点又被称作正方形的中心)。它的对称轴有四条,分别是对边中点的连线以及两条对角线。保持正方形不变的变换有8种,包括全等变换,以正方形中心为中心、角度为90度、180度和270度的旋转,以及关于四条对称轴的反射。这八个变换组成了一个,是二面体群中的一个,记作D4

Group D8 id.svg
全等变换,四个顶点都不变
Group D8 90.svg
r1(顺时针90°旋转)
Group D8 180.svg
r2(180°旋转)
Group D8 270.svg
r3(顺时针270°旋转)
Group D8 fh.svg
fv垂直反射
Group D8 fv.svg
fh水平反射
Group D8 f24.svg
fd沿主对角线(左上至右下)反射
Group D8 f13.svg
fc沿副对角线(右上至左下)反射
二面体群D4

正方形与无理数

公元前五世纪时,毕达哥拉斯学派最早证明了正方形的对角线长度与边长长度的比例:,是无法表示为两个自然数的公比的。

使用圆规与直尺建构出正方形。

平面镶嵌

用同一种多边形不重叠地将平面“铺满”,称为平面的正镶嵌图。正方形是能够组成平面的正镶嵌图的三种正多边形之一(另外两种分别是正三角形正六边形)。

参考文献

  1. ^ Euclid's Elements, Book I. mathcs.clarku.edu. [2017-10-21].

参见


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