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八边形本文重定向自 正八邊形

正八边形
Regular polygon 8 annotated.svg
一个正八边形
类型正多边形
8
顶点8
对角线20
施莱夫利符号{8}
t{4}
考克斯特图英语Coxeter diagramCDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.png
CDW ring.svgCDel 4.pngCDW ring.svg
对称群二面体群 (D8), order 2×8
面积
内角135°
内角和1080°
对偶正八边形 (本身)
特性圆内接多边形等边多边形英语Equilateral polygon、等角多边形、isotoxal figure英语isotoxal figure

几何学中,八边形,又称八角形[1]是指有八条边和八个顶点多边形,其内角和为1080度[2]。八边形有很多种,其中对称性最高的是正八边形。其他的八边形依照其类角的性质可以分成凸八边形和非凸八边形,其中凸八边形代表所有内角角度皆小于180度。非凸八边形可以在近一步分成凹八边形和星形八边形,其中星形八边形表示边自我相交的八边形。

性质

绿色四边形是由一个八边形每个棱外接(或内接)正方形,其几何中心与对边的棱外接(或内接)正方形的几何中心连线中点构成,其具有对角线会垂直且等长的性质

所有八边形都可以利用顶点切割成6个三角形,而每个三角形的内角和为180度,因此所有八边形的内角和都是1080度[2]。特别的,因为任意多边形最终会绕一圈连回最初的点,因此所有外角的和等于圆周,因此所有多边形的外角和都是360度。

若在一个任意八边形的每个边上都构造一个边长与原八边形相同的正方形,其中一个边为八边形的边,且他们都统一在该八边形的内部或外部,则每个正方形向对面正方形的几何中心连心线的中间点所构成的四边形其对角线会垂直且等长[3]:Prop. 9

而任意八边形的中点八边形,即把任意八边形每个边中点与相邻边中点连线成的八边形,换句话说就是对偶八边形,若将这种八边形每个边上都构造一个边长与原八边形相同的正方形,且他们都统一在该八边形的内部或外部,则每个正方形向对面正方形的重心连心线的中点所构成的四边形是正方形[3]:Prop. 10

任意八边形都有这种性质,不论凸、非凸或复杂八边形,但八条边的复合图形则除外。

正八边形

正八边形是指所有边等长、所有角等角的八边形,由八条相同长度的边和八个相同大小的角构成,是一种正多边形。正八边形的内角是 3π/4 弧度,换算成角度是135度。在施莱夫利符号中用 {8} 来表示[4]。由于正八边形可看作是截去所有顶点的正方形,即截角正方形,因此在施莱夫利符号中也可以计为 t{4}。而截角的八边形为十六边形,在施莱夫利符号计为 t{8}。正八边形可以被分割成两个梯形跟一个矩形,这种图称为八边形-四边形图[5]

面积

对于一个已给定边长a的正八边形,其面积为:

若已知外接圆半径为R,其面积为:

若已知内切圆半径或边心距为r,则其面积为:

正八边形的面积可借由截角正方形的方式计算

其面积也可以表示为:

其中,S是八边形的宽度,其值与次短对角线相等;a是边长,或者某个边的长度。这个面积的公是十分容易证明。取一个正八边形,在正八边形外变化一个正方形,并确保正方形与正八边形的其中四条边部分重叠,然后将正方形四个直角依据正八边形的边长分割出四个等腰直角三角形。取下四个等腰直角三角形可以拼出一个边长与正八边形边长相等的正方形

已知边长为a,则其宽度S

然后面积

若以宽度来表示其面积,则为

另外一个简化的面积表示为

若已知S,边长a就能被确定,即上面将正方形切割成正八边形的过程

被切去的三角形的底边长,也可以由Sa计算得:

半径

边长为a的正八边形外接圆半径为:[6]

内切圆半径为:

构造

  1. 先画一个圆,做一个内接正方形ABCD。
  2. 过圆心O向任意一边(设为AB)做垂线并延长,延长线交圆O于E。
  3. 分别以A,B为圆心,AE为半径画弧,交圆于E,F,G,H。
  4. 连接EAFBGCHD,即为正八边形。

Regular Octagon Inscribed in a Circle.gif

其他八边形

除了正八边形之外,还有多种不同的八边形。例如常见的T字形、和“凹”字,就是一种凹八边形。

星形八边形

星形八边形是一种非凸的八边形,通常具有边自我相交的性质

Ashthalakshmi - Star of Laxmi.svg
{8/2}
2{4}
Octagram graph.png
{8/3}
Regular star figure 4(2,1).svg
{8/4}
4{2}
Auseklis star.svg Isotoxal octagram.png

复八边形

复八边形是指位于希尔伯特平面由8条边组成的复多边形。由于空间中的多边形未必会边数与顶点数相同,因此复八边形与复八角形不一定等价。较知名的复八边形为莫比乌斯-坎特八边形

莫比乌斯-坎特八边形

莫比乌斯-坎特八边形是一种由8个顶点和8条棱所组成的几何结构,其在施莱夫利符号中可以用3{3}3来表示、在考克斯特记号中可以用CDel 3node 1.pngCDel 3.pngCDel 3node.png来表示。与一般的八边形不同,莫比乌斯-坎特八边形位于希尔伯特平面,且构成这种形状的棱每个棱阶连接了三个顶点,称为三元棱或三元边(Trion),这种几何结构在施莱夫利符号中可以用3{}来表示。[8]

莫比乌斯-坎特八边形的正投影图
考克斯特平面 B4 F4
Complex polygon 3-3-3-B4.svg Complex polygon 3-3-3-B4b.svg Complex polygon 3-3-3.png
对称性 [8] [12/3]

扭歪八边形

一个正扭歪八边形,位于四角反柱的侧面边上,具有D4d, [2+,8], (2*4)的对称性,阶数为16
环辛烷碳原子位置是一个扭歪八边形[9]

扭歪八边形,又称不共面八边形,是指顶点并非完全共面的八边形。

Isogonal skew octagon on cube2.png
立方体, 正方形对角线
Isogonal skew octagon on cube.png
立方体
Isogonal skew octagon on crossed-cube.png
交叉立方体
Skew polygon in square antiprism.png

皮特里多边形

一些高维度多胞体的皮特里多边形是扭歪八边形。这些扭歪多边形显示于射影的A7、B4和D5考克斯特平面英语Coxeter plane

A7 D5 B4
7-simplex t0.svg
七维正八胞体英语7-simplex
5-demicube t0 D5.svg
五维半立方体英语5-demicube
4-cube t3.svg
正十六胞体
4-cube t0.svg
超立方体

八边形的对称性

对称性
Regular octagon symmetries.png
八边形的11种对称性

正八边形具有Dih8的二面体群对称性,阶数为16。九边形的二面体群对称群共有3个子群,他们分别为:Dih4、Dih2和Dih1;其循环群也有4个子群,他们分别为:Z8、Z4、Z2和Z1

八边形的对称性
Octagon r16 symmetry.png
r16
Octagon d8 symmetry.png
d8
Octagon g8 symmetry.png
g8
Octagon p8 symmetry.png
p8
Octagon d4 symmetry.png
d4
Octagon g4 symmetry.png
g4
Octagon p4 symmetry.png
p4
Octagon d2 symmetry.png
d2
Octagon g2 symmetry.png
g2
Octagon p2 symmetry.png
p2
Octagon a1 symmetry.png
a1

K8完全图经常会被以正八边形的图形绘制来描述其28条连接边。这个图与七维正八胞体的正投影图英语orthographic projection同为8个顶点和28条边。

7-simplex t0.svg
七维正八胞体英语7-simplex

另外K8完全图也显示了八边形的20条对角线。

使用

八边形经常用在艺术品、建筑物或产品设计上。例如八角门[10][11]。在建筑物主体上,八边形通常会使建筑物程八角柱,例如十三行博物馆的主要建筑物[12]。在产品设计上,知名电脑公司苹果公司曾以八边形的形状进行iPhone的设计[13]

参见

参考文献

  1. ^ 八角形,八邊形. 国家教育研究院. [2016-08-28]. (原始内容存档于2016-09-14).
  2. ^ 2.0 2.1 Polygons – Octagons. coolmath.com. [2017-05-28]. (原始内容存档于2019-08-10).
  3. ^ 3.0 3.1 Dao Thanh Oai (2015), "Equilateral triangles and Kiepert perspectors in complex numbers"页面存档备份,存于互联网档案馆), Forum Geometricorum 15, 105--114.
  4. ^ Wenninger, Magnus J., Polyhedron Models, Cambridge University Press: 9, 1974 [2016-08-27], ISBN 9780521098595, (原始内容存档于2016-08-11).
  5. ^ Luigia Berardia, Mario Gionfriddob, Rosaria Rota Pressdate=2010-07-28, Perfect octagon quadrangle systems 310 (13–14): 1979–1985, doi:10.1016/j.disc.2010.03.012.
  6. ^ 埃里克·韦斯坦因. Octagon. MathWorld.
  7. ^ Coxeter, H.S.M., Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-39490-2
  8. ^ Complex Regular Polytopes,[7] 11.1 Regular complex polygons p.103
  9. ^ Hendrickson, James B. Molecular Geometry V. Evaluation of Functions and Conformations of Medium Rings. Journal of the American Chemical Society. 1967, 89 (26): 7036–7043. doi:10.1021/ja01002a036.
  10. ^ 八角門. 鹿港采风古意导览. [2016-08-28]. (原始内容存档于2019-05-02).
  11. ^ 台灣風景/ 台北縣/ 中和圓通寺/ 八角門. 吉琦. [2016-08-28]. (原始内容存档于2019-05-02).
  12. ^ 十三行博物馆页面存档备份,存于互联网档案馆) 八角柱建筑 在最后一段
  13. ^ 八邊形的 iPhone 原型機?來看看蘋果在專利大戰中曝光的秘密. 虎嗅网. 科技新报. 2015-12-09 [2016-08-28]. (原始内容存档于2020-10-23).

外部链接


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