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正三角形镶嵌
正三角形镶嵌
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类别 正镶嵌
顶点图 3.3.3.3.3.3(或36
顶点布局英语Vertex_configuration 36
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch.png = CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node h.pngCDel split1.pngCDel branch hh.png
施莱夫利符号 {3,6}
{3[3]}
威佐夫符号英语Wythoff symbol 6 | 3 2
3 | 3 3
| 3 3 3
康威表示法 dH
对称群 p6m, [6,3], (*632)
p3m1, [3[3]], (*333)
p3, [3[3]]+, (333)
对偶 正六边形镶嵌
旋转对称群英语Point_groups_in_three_dimensions#Rotation_groups p6, [6,3]+, (632)
p3, [3[3]]+, (333)
Triangular tiling vertfig.png
3.3.3.3.3.3(或36
顶点图
Uniform tiling 63-t0.png
正六边形镶嵌
(对偶多面体)

几何学中,正三角形镶嵌、又称为正三角方格[1]是一种正多边形平面上的密铺,又称正镶嵌图

命名

康威称正三角形镶嵌为deltille。deltille一词来自于外形为三角形的希腊字母 DeltaΔ),有时也称作六角化正六边形镶嵌

性质

由于正三角形镶嵌是由正三角形组成,又因正三角形内角为60,因此每个顶点周围都有6个三角形,且刚好占满360度。

正三角形镶嵌在施莱夫利符号中,用{3,6}表示。

正三角形镶嵌是三个的平面正镶嵌图之一。另外两个是正方形镶嵌和正六边形镶嵌。

一般将画在纸上的正三角方格称作正三角格纸[1],正三角格纸是用来画三维立体图或三维透视图用的。使用正三角格纸作图会比较容易做出三维立体图或三维透视图,而且图形看起来比较接近三维[1]

上色的正三角形镶嵌

正三角形镶嵌有九种不同的上色方式,他们依顶点周为颜色数来命名: 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314。

上色
索引
111111 121212 121314 121213
图示
1
1
1
1
1
1
1
2
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4
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1
2
上色 Uniform tiling 63-t2.png Uniform tiling 333-t1.png Uniform tiling 333-snub.png Uniform tiling 63-h12.png
对称群 *632
(p6m)
[6,3]
*333
(p3m1)
[3[3]] = [1+,6,3]
333
(p3)
[3[3]]+
3*3
(p31m)
[6,3+]
Wythoff符号英语Wythoff symbol 6 | 3 2 3 | 3 3 | 3 3 3
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin Diagram CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch.png = CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node h.pngCDel split1.pngCDel branch hh.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png

A2晶格和圆堆砌

正三角形镶嵌的顶点排布被称作A2晶格[2]。正三角形镶嵌是单纯形堆砌英语Simplectic honeycomb家族的二维成员。

A2*晶格(又称A23),可由所有3种A2晶格组合得来,就等价于A2晶格。

CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch.png + CDel node.pngCDel split1.pngCDel branch 10lu.png + CDel node.pngCDel split1.pngCDel branch 01ld.png = CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch 11.png 的对偶 = CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch.png

以正三角形镶嵌的顶点为圆心,我们可以得到二维的最密圆堆砌英语Circle Packing,每个圆都与6个相邻圆接触(接触数英语kissing number),堆砌密度为或90.69%。由于3个A2晶格组合还是A2晶格,这种圆堆砌种的圆可被涂成三种颜色。

A2晶格的沃罗诺伊图正六边形镶嵌,它也是正三角形镶嵌的对偶。因此,正六边形镶嵌也与最密圆堆砌有直接的对应关系。

A2晶格圆堆砌 A*
2
晶格圆堆砌
Triangular tiling circle packing.png Triangular tiling circle packing3.png
正六边形镶嵌
Uniform tiling 63-t0.png Uniform tiling 333-t012.png

相关半正镶嵌

正三角形镶嵌家族的半正镶嵌
对称性: [6,3], (*632) [6,3]+, (632) [1+,6,3], (*333) [6,3+], (3*3)
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Uniform tiling 63-t0.png Uniform tiling 63-t01.png Uniform tiling 63-t1.png Uniform tiling 63-t12.png Uniform tiling 63-t2.png Uniform tiling 63-t02.png Uniform tiling 63-t012.png Uniform tiling 63-snub.png Uniform tiling 333-t1.png Uniform tiling 63-h12.png
{6,3} t0,1{6,3} t1{6,3} t1,2{6,3} t2{6,3} t0,2{6,3} t0,1,2{6,3} s{6,3} h{6,3} h1,2{6,3}
半正对偶
CDel node f1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 6.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 6.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 6.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
Uniform tiling 63-t2.png Tiling Dual Semiregular V3-12-12 Triakis Triangular.svg Rhombic star tiling.png Uniform tiling 63-t2.png Uniform tiling 63-t0.png Tiling Dual Semiregular V3-4-6-4 Deltoidal Trihexagonal.svg Tiling Dual Semiregular V4-6-12 Bisected Hexagonal.svg Tiling Dual Semiregular V3-3-3-3-6 Floret Pentagonal.svg Uniform tiling 63-t0.png
V6.6.6 V3.12.12 V3.6.3.6 V6.6.6 V3.3.3.3.3.3 V3.4.12.4 V.4.6.12 V3.3.3.3.6 V3.3.3.3.3.3

从六边形镶嵌可利用“交错”操作将六边形镶嵌变成三角形镶嵌。

交错2n边形镶嵌系列:
球面镶嵌 多面体 欧式镶嵌 紧凑双曲镶嵌 仿紧空间 非紧空间
n 1 2 3 4 5 6
2n边形镶嵌 {2,3} {4,3} {6,3} {8,3} {10,3} {12,3} {∞,3} {iπ/λ,3}
交错2n边形镶嵌 Trigonal dihedron.png
h{2,3}
CDel node h1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform tiling 3-2-3-2-3-2.png
h{4,3}
CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform tiling h(6-6-6) 3-3-3-3-3-3.png
h{6,3}
CDel node h1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform tiling 433-t0.png
h{8,3}
CDel node h1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
H2 tiling 335-1.png
h{10,3}
CDel node h1.pngCDel 10.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
H2 tiling 336-1.png
h{12,3}
CDel node h1.pngCDel 12.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
... H2 tiling 33i-1.png
h{∞,3}
CDel node h1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
正0边形.png
h{iπ/λ,3}
CDel node h1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

相关

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 《图解数学辞典》天下远见出版 P.50 ISBN 986-417-614-5
  2. ^ http://www.math.rwth-aachen.de/~Gabriele.Nebe/LATTICES/A2.html

阅读


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