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有界输入有界输出稳定性本文重定向自 有界輸入有界輸出穩定性

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信号处理控制理论中,有界输入有界输出稳定性简称BIBO稳定性,是一种针对有输入信号线性系统稳定性。BIBO是“有界输入有界输出”(Bounded-Input Bounded-Output)的简称,若系统有BIBO稳定性,则针对每一个有界的输入,系统的输出也都会有界,不会发散到无限大。

对于信号若存在有限的定值使得信号的幅度不会超过,则此信号为有界的,也就是说

针对离散信号,或
针对连续信号

线性非时变系统时域分析下的条件

连续系统的充份及必要条件

针对连续时间的线性非时变(LTI)系统,BIBO稳定性的条件是脉冲响应需为绝对可积分,也就是存在L1范数

离散系统的充份条件

针对离散时间的线性非时变系统,BIBO稳定性的条件是脉冲响应需为绝对可积分,也就是存在L1范数

充份条件的证明

假设离散时间的线性非时变系统,其脉冲响应和输入和输出之间会有以下的关系:

其中卷积 则依卷积的定义:

的最大值

(根据三角不等式

是绝对可求和,则

因此若是绝对可求和,且有界,则因为也会有界。

连续时间的情形也可以依类似的方式证明。

线性非时变系统频域分析下的条件

连续时间信号

对于一个有理的连续时间系统,稳定性的条件是拉普拉斯转换收敛区域包括复数平面的虚轴。若系统为因果系统,其收敛区域为“最大极点”(实部为最大值的极点)实部垂直线往右的开集,定义收敛区域的极点实部称为收敛横坐标英语abscissa of convergence。因此,若要有BIBO稳定性,系统的所有极点都需在S平面的严格左半平面(不能在虚轴上)。

可以将时域分析下的稳定性条件扩展到频域下:

其中,且.

因此收敛区域必须包括虚轴。

离散时间信号

对于一个有理离散时间系统,稳定性的条件是Z转换收敛区域包括单位圆。若系统为因果系统,其收敛区域为极点绝对值中最大值为半径的圆周以外的开集,因此,若要有BIBO稳定性,系统的所有极点都需在Z平面的单位圆内(不能在单位圆上)。

可以用类似的方式推导稳定性准则:

其中,且

因此收敛区域必须包括单位圆

相关条目

延伸阅读

  • Gordon E. Carlson Signal and Linear Systems Analysis with Matlab second edition, Wiley, 1998, ISBN 0-471-12465-6
  • John G. Proakis and Dimitris G. Manolakis Digital Signal Processing Principals, Algorithms and Applications third edition, Prentice Hall, 1996, ISBN 0-13-373762-4
  • D. Ronald Fannin, William H. Tranter, and Rodger E. Ziemer Signals & Systems Continuous and Discrete fourth edition, Prentice Hall, 1998, ISBN 0-13-496456-X
  • Proof of the necessary conditions for BIBO stability.
  • Christophe Basso Designing Control Loops for Linear and Switching Power Supplies: A Tutorial Guide first edition, Artech House, 2012, 978-1608075577

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