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有界算子

泛函分析此一数学分支里,有界线性算子是指在赋范向量空间XY 之间的一种线性变换L,使得对所有X 内的非零向量vL(v) 的范数v 的范数间的比值会局限在相同的数字内。亦即,存在一些M > 0,使得对所有在X 内的v

其中最小的M 称为L算子范数

有界线性算子一般不会是有界函数;后者需要对所有的vL(v)的范数是有界的,但这只有在Y 为零向量空间时才有可能。然而,有界线性算符为局部有界函数。

一个线性算子为有界的,当且仅当其为连续的。因此有界线性算子也被称为连续线性算子

例子

  • 任何在两个有限维度赋范空间之间线性算符皆是有界的,且此类算符可以被视为某些固定矩阵的乘积。
  • 许多积分变换为有界线性算符。例如,设
为一连续函数,则算符L
(定义于由在 上的连续函数所组成的空间,赋予空间 均匀范数的值)是有界的。此一算符实际上也是紧致的。紧致算符在有界算符中是很重要的一类。
(其定义域为索伯列夫空间,值域在由平方可积函数所组成的空间内)是有界的。
  • 在由所有实数序列(x0, x1, x2...)(其中)所组成的l2 空间上的位移算符
是有界的。其算符范数可轻易地看出为1。

有界和连续的等价

如开头所述,在赋范空间XY间的线性算子L 是有界的,当且仅当其为连续线性算子。证明如下:

  • L 是有界的,则对X内的所有向量vh(其中的h不为零),会有
趋近于零,即可证明Lv 是连续的。甚至,因为常数M 不依赖v,可证明L 实际上是均匀连续的(更甚之,还是利普希茨连续的)。
  • 反过来,在零向量的连续性,允许存在一个,使得对所有X 的向量h。因此,对所有'X 内的非零向量v,会有
这证明了L 是有界的。


参考资料

  • Kreyszig, Erwin: Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley, 1989

参见

  • 算子代数
  • 算子理论

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