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会圆术

会圆术弧长公式与圆周弧长之比较

会圆术,是从《九章算术》的“方田”章所载的“弧田术”的基础发展而成的,并载于《梦溪笔谈》一书,但作著沈括并未给出这一公式的推导。

所谓“会圆术”就是已知圆周,弓形的高和弦长,而求出弧长的方法。用“会圆术”来计算所得的只是近似值,但用“会圆术”来计算弧长,而算精确了沈括出的求弧长的近似公式:

弧长≈

其中为弧所在的圆之半径,为弧田的弦, 为弓形的高。

元代王询郭守敬等人在推算《授时历》的过程中,曾应用会圆术推算“赤道积度”(太阳赤经余弧)和“赤道内外度”(太阳赤纬),类似欧美的球面三角形的公式,。但由于会圆术弧矢公式易出现误差,圆心角越大,误差越大,推得的周天直径不够精确,因而其结果也就不十分精确。而计算方法仅限于毕氏定理,不知利用三角函数的正切,由弧度求弦矢,计算过于繁琐。[1]明朝末年制定《崇祯历书》则由徐光启直接引进西方数学。

注释

  1. ^ 钱宝琮:《授时历法略论》,见《钱宝琮科学史论文选集》,科学出版社,1983年

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