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最密堆积

如何在一定空间内堆叠出最多的橘子涉及最密堆积的问题。

在几何上,最密堆积(英语:Sphere Packing)或球填充,是指在一定范围内放入最多不重叠球体的方式,通常这些球的大小视为相同。堆积的范围通常是三维欧几里得空间,不过有时也会对超过三维的欧式空间或非欧几何空间进行讨论。

常见的最密堆积问题通常是要求在一空间内放入最多的球体。此时,球体总体积占空间大小的比例称为密度,科学家会利用算法找出能使密度尽可能增大的方法。理论上,在三维空间内由相同球体所形成的最密堆积密度能到74%。相较之下,随机排列(例如随意将几颗球丢进箱子里)的密度平均只有64%。

欧式几何

由相同大小之球体转换到不规则形的气泡。

在三维欧几里得空间中,三维的最密堆积是由若干二维密置层叠合起来的,密置层中相邻的等径球都相切。其中两种常见的最密堆积方式,一种称为面心立方(FCC),底部必须是三角形,以便尽可能堆出最小的金字塔。另一种为六方最密堆积(HCP),要堆出最小的金字塔时,底部须为六角形。面心立方是在每一层中规律性地重复三个不同的位置,成为“ABCABC……”的模式;六方最密堆积则是规律性地重复两个不同的位置,使各层在ABAB ...序列中交替。 但是也有可能出现多层堆叠序列(ABAC,ABCBA,ABCBAC等),并且仍然生成紧密堆积结构[1]。 在所有这些布置中,每个球被12个其他球围绕。理论上其密度最大值为:

此外,常见的堆积方式密度如下:

实验上,面心立方是六方最密堆积随时间逐渐演变而来,特别是同等体积的气泡、水滴或固体颗粒自动形成的模式[1]

高斯在1831年证明,这些填料在所有可能的点阵填料中密度最高[2]。在1611年开普勒猜想这是在正规和不规则安排之间的最大可能密度,这被称为开普勒猜想。在1998年,托马斯·黑尔斯借由拉斯罗‧费耶斯‧托特英语László Fejes Tóth所提出的方式,提出了一个关于此猜想的证明。黑尔斯利用穷举法的方式证明此猜想,其证明大量地使用计算机程序的运算。审稿者曾说他们对于黑尔斯证明的正确性有99%的确定性,故开普勒猜想目前已几乎可说是个定理了。2014年由黑尔斯引导的Project FlysPecK完成了对开普勒猜想的形式化证明。

化学

化学上,晶体中的原子、离子或分子等粒子,其规则满足点阵型式;能在相同空间内填入最多原子的方式称为最密堆积,通常以固体存在于自然界。

各种最密堆积中,最有对称性的是六方最密堆积(英文缩写hcp,又叫A3型)和面心立方最密堆积(英文缩写fcc,又叫A1型),这两种是晶体中极常见的排列方式。hcp的叠合方式是2层一循环:ABAB……;fcc的叠合方式是3层一循环:ABCABC……。

六方最密堆积在取晶胞时,一般取六方锥的三分之一,晶胞属六方晶系,底面菱形的锐角一定是60°。下图是六方最密堆积的原子在一个六方锥的排列。

面心立方最密堆积示意图

面心立方最密堆积出于对称性一般取面心型式的立方晶胞。一个晶胞涉及到的14个原子分属4层:以一个顶角为A层,与之最相邻的3个面心原子和3个顶角原子属于B层,接下来的6个原子属于C层,还有一个顶角与A层的顶角相对,它处于下一个循环的A层。

许多单质,尤其是金属单质为了获得较强的作用力,常采用最密堆积。
采用六方最密堆积的单质有:

采用面心立方最密堆积的单质有:

引用文献

  1. ^ 1.0 1.1 堆放蘋果(球體)的最佳方式. PanSci 泛科学. 2012-09-01 [2017-02-13] (中文(台湾)).
  2. ^ Gauß, C. F. Besprechung des Buchs von L. A. Seeber: Untersuchungen über die Eigenschaften der positiven ternären quadratischen Formen usw [Discussion of L. A. Seeber's book: Studies on the characteristics of positive ternary quadratic forms etc]. Göttingsche Gelehrte Anzeigen. 1831.

参看


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