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星形正多边形

(重定向自星形正多邊形)
两种星形多边形
Alfkors.svg
{5/2}
Stjärna.svg
|5/2|
正五角星{5/2}是一种星形多边形,有五个顶点和互相相交的边,其可以对应到一个凹十边形|5/2|。
Small stellated dodecahedron.png
小星形十二面体
Kepler decagon pentagon pentagram tiling.png
镶嵌

几何学中,星形多边形是一种外观有数个向外凸起的非凸多边形。目前几何学上尚未有一个广泛被接受的星形多边形定义,目前较常见的定义为存在顶点不和相邻顶点连接的多边形[1][2],或者从一般多边形透过截角或延长边并使其相交所形成的形状[3]。目前有被从多个角度进行研究的星形多边形只有星形正多边形。数学家布兰科·格伦鲍姆英语Branko Grünbaum指出了两种由开普勒提出的定义:一种是具有自相交的星形正多边形,且自相交的棱不产生新的顶点,另一种是等边简单凹多边形[5]

命名

星形多边形一般有许多向外突出的角,一般依照其向外突出之角的数量命名,如五角星,部分文献将之称为一个芒,整体形状以芒数命名,如五芒星[6]六芒星[7]

简单等边星形多边形

若一星形多边形是一个简单多边形或边不相交的多边形,则该星形多边形不可能为星形正多边形,因为若将星形正多边形的相交边移除,则其不再正多边形,但可以形成等边多边形。这类等边多边形通常由2个落在半径不同的圆上之顶点交错连接构成。数学家布兰科·格伦鲍姆英语Branko Grünbaum在其著作《Tilings and Patterns》中将这类多边形以符号表示由星形多边形移除相交线段后构成的星形多边形,例如星形多边形移除位于内部的线段后的结果计为表达一个内角度的n角星[5]

简单等边星形多边形
|n/d|
{nα}
 
{330°}
 
{630°}
|5/2|
{536°}
 
{445°}
|8/3|
{845°}
|6/2|
{660°}
 
{572°}
α 30° 36° 45° 60° 72°
β 150° 90° 72° 135° 90° 120° 144°
等边星形多边形 Isotoxal star triangle 12-5.svg Isotoxal star hexagon 12-5.png Stjärna.svg Isotoxal square star 8-3.svg Octagonal star.png Roundel of Israel – Low Visibility – Type 2.svg Wide pentagram.png
对应的星形正多边形 Regular star polygon 12-5.svg
{12/5}
Alfkors.svg
{5/2}
Regular star polygon 8-3.svg
{8/3}
Hexagram.svg
2{3}
星形图英语Star figure
Decagram 10 3.png
{10/3}

星形正多边形

Regular star polygon 5-2.svg
{5/2}
Regular star polygon 7-2.svg
{7/2}
Regular star polygon 7-3.svg
{7/3}...

星形正多边形包括五角星八角星等等,n角星的施莱夫利符号为{n/m},其中m是小于n/2且和n互质的正整数。托马斯·布拉德华是最早系统性地对星形正多边形的研究的学者,后来约翰内斯·开普勒也做了类似的研究。[8]

参见

参考文献

  1. ^ 星型多角形は特殊な図形か (PDF). fzk.ed.shizuoka.ac.jp. [2019-11-11]. (原始内容存档 (PDF)于2019-11-11).
  2. ^ 志凌资讯 刘致仪. 跟我學CorelDRAW X7向量彩繪創意. 碁峰资讯股份有限公司. 2014. ISBN 9789863473107.
  3. ^ 五角星形. shuxuele.com. [2019-11-11]. (原始内容存档于2019-11-11).
  4. ^ Grünbaum, B.英语Branko Grünbaum, G.C. Shephard; Tilings and Patterns, New York: W. H. Freeman & Co., (1987), ISBN 0-7167-1193-1
  5. ^ 5.0 5.1 Grünbaum & Shephard 1987,[4] section 2.5
  6. ^ 高柳茜. 丸にとらわれたお星さま!?ファンタジックで美しい数学 ~星型正n角形k点飛ばしにおける面積の一般化公式を導く~. milive.jp. [2019-11-11]. (原始内容存档于2019-11-11).
  7. ^ 羅東六芒星超美主燈!「歡樂宜蘭年」讓你有走迷宮感覺. 东森新闻云. 2019-02-12.
  8. ^ Coxeter, Introduction to Geometry, second edition, 2.8 Star polygons p.36-38

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