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方波

正弦波方波三角波锯齿波的形态

方波是一种非正弦曲线的波形,通常会于电子讯号处理时出现。理想方波只有“高”和“低”这两个值。

起源与应用

在现实世界,方波只有有限的带宽。由于一般电子零件只有高(1)和低(0)两个值,方波就自然产生,并于数位开关电路中广泛应用。因为方波可以快速从一个值转至另一个(即0→1或1→0),所以方波就用作时钟讯号来准确地触发同步电路。但是如果用频率定义域来表示方波,就会出现一连串的谐波。这可能会产生电磁波和电流脉波,影响周围的电路,产生噪声和错误,对一些精密仪器如类比数位资料转换器(analog-to-digital converter)影响十分明显,所以设计会使用正弦波作时钟讯号来代替方波。

在音乐上,方波被视为空洞的声音,因此会以减法合成过滤方波作管乐的基础。另外,电吉他的失真效果(distortion)把波形的外层削去,令波形趋向成为方波。失真越大会令波形越像方波。

一个“简单二能级莱德马契函数”(simple two-level Rademacher function)就是一个方波。

验证方波

方波和锯齿波不同。锯齿波包含所有整数谐波成分(integer harmonics),方波只有奇数谐波成分。

我们可以傅里叶级数表达一个理想方波,这个傅里叶级数有无限个项,如下式:

以傅里叶级数来表达方波会出现吉布斯现象(Gibbs phenomenon)。非理想方波中的振铃被证明与此现象有关。吉布斯现象可使用σ近似(σ-approximation)来阻止,而σ近似使用Lanczos σ因子来使序列更理想地收敛。

方波的高(1)和低(0)两个值之间的转换时,时间应尽量缩短,所以理想方波值的转变是即时的。当然,这在现实世界中永不可能发生,因为它的转变率要无限,并且要无限大的带宽

用加法合成增加谐波的数目来制造方波

在现实世界,方波只有有限的带宽,因此会出现严重的吉布斯现象并常常表现出像吉布斯现象一样的振铃效应(ringing effect),或者是像σ近似一样的波动效应(ripple effect)。

在现实世界,数码电子的带宽有限,方波只能以有限的带宽来表达,意味着我们只能取一个近此方波的波型。要得出这个合理的波型,最少要有基波(fundamental harmonic)和第三次谐波(third harmonic)。当然,谐波的数量越多,波型就越像一个方波。

工作周期(duty cycle)是方波值“1”占一个周期的时间比例。真实方波的工作周期是50%──即高值和低值占的时间一样。方波的平均值是由工作周期决定的,因此通过改变ON和OFF周期然后求平均数,有可能代表两个限制电平(limiting level)间的任意值。这是脉波宽度调变(pulse-width modulation)的基础。

5秒方波,1 kHz

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5秒方波,3.5 kHz

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非理想方波的特性

正如已经提到的,理想方波在高和低两个值之间是瞬时变化的。实际上,由于波形产生系统的物理局限性,这永远不可能实现。信号从低值上升到高值然后再下降所花费的时间分别称为脉冲上升时间(rise time)和脉冲衰减时间(fall time)。

如果系统出现过阻尼,那么波就永远不会达到理论上的高和低两个值,如果系统出现欠阻尼,波在稳定下来之前就会在高和低两个值附近振荡。在这两种情况下,脉冲上升和衰减时间就会在两个特定的中间值之间被测量,例如5%和95%之间,或10%和90%之间。公式存在的能决定系统的近似带宽,决定了波的脉冲上升和衰减时间。

其他定义法

方波有很多定义法,除了在不连续点外它们都是等效的。

正弦函数定义法

当正弦值为正时上式等于1,当正弦值为负时上式等于−1,且0在不连续点上。

单位阶跃函数u(t)与矩形函数⊓(t)定义法

占空比为50%时,T是2.也可以用分段的方式表示:

当下列式子成立时,上述式子成立

参见


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