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方根

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数学中,若一个数次方根,则。当提及实数次方根的时候,假定想要的是这个数的次方根,那么它就可以用根号)表示成。例如:1024的主10次方根为2,就可以记作。当时,则可以省略。定义实数的主次方根为次方根,且具有与相同的正负号的唯一实数。如果偶数,那么负数将没有主次方根。习惯上,将2次方根叫做平方根,将3次方根叫做立方根

符号史

最早的根号“√”源于字母“r”的变形(出自拉丁语latus的首字母,表示“边长”),没有线括号(即被开方数上的横线),后来数学家笛卡尔给其加上线括号,但与前面的方根符号是分开的,因此在复杂的式子显得很乱。直至18世纪中叶,数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成,并将根指数写在根号的左上角,以表示高次方根(当根指数为2时,省略不写。)。从而,形成了我们现在所熟悉的开方运算符号

由于在计算机中的输入问题,我们有时还可以使用sqrt(a,b)来表示a的b次方根。

基本运算

带有根号的运算由如下公式给出:

这里的ab正数

对于所有的非零复数,有n个不同的复数使得,所以符号不能无歧义的使用(通常这样写是取个值当中主幅角最小的)。n单位根是特别重要的。

当一个数从根号形式被变换到形式,幂的规则仍适用(即使对分数幂),也就是

例如:

若要做加法减法,应当注意下列概念是重要的。

若已可以简化根式表达式,则加法和减法简单的是的“同类项”问题。

例如

不尽根数

经常简单的留着数的n次方根不解(就是留着根号)。这些未解的表达式叫做“不尽根数”(surd),它们可以接着被处理为更简单的形式或被安排相互

如下恒等式是操纵不尽根数的基本技术:

无穷级数

方根可以表示为无穷级数:

找到所有的方根

任何数的所有的根,实数或复数的,可以通过简单的算法找到。这个数应当首先被写为如下形式(参见欧拉公式)。接着所有的n次方根给出为:

对于,这里的表示的主次方根。

正实数

所有次方根,这里的是正实数,的复数解由如下简单等式给出:

对于,这里的表示的主次方根。

解多项式

曾经猜想多项式的所有根可以用根号和基本运算来表达;但是阿贝尔-鲁菲尼定理断言了这不是普遍为真的。例如,方程

的解不能用根号表达。

要解任何n次方程,参见根发现算法。

算法

对于正数,可以通过以下算法求得的值:

  1. 猜一个的近似值,将其作为初始值
  2. 。记误差为,即
  3. 重复步骤2,直至绝对误差足够小,即:

从牛顿法导出

之值,亦即求方程的根。

,其导函数

牛顿法作迭代,便得

从牛顿二项式定理导出

为迭代值,为误差值。

(*),作牛顿二项式展开,取首两项:

调项得

将以上结果代回(*),得递归公式

参见

外部链接


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