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方块矩阵

线性代数

向量 向量空间 行列式 矩阵

方块矩阵,也称方阵方矩阵正方矩阵[1],是行数及列数皆相同的矩阵。由矩阵组成的集合,连同矩阵加法矩阵乘法,构成。除了,此环并不是交换环

M(n, R),即实方块矩阵环,是个实有单位的结合代数。M(n, C),即复方块矩阵环,则是复结合代数。

单位矩阵的对角线全是1而其他位置全是0,对所有矩阵矩阵都有。 例如,若

单位矩阵是方块矩阵环的单位元。

方块矩阵环的可逆元称为可逆矩阵非奇异方阵矩阵是可逆当且仅当存在矩阵使得

此时称为逆矩阵,并记作。 所有矩阵在乘法上组成一个(亦是一个李群),称为一般线性群

若数字和非零向量满足,则的一个特征向量是其对应的特征值。数字的特征值当且仅当可逆,又当且仅当。这里,特征多项式。特征多项式是一个次多项式,有个复根(考虑重根),即个特征值。

方块矩阵行列式是其个特征值的积,但亦可经由莱布尼茨公式计算出来。可逆矩阵正好是那些行列式非零的矩阵。

高斯-若尔当消元法非常重要,可以用来计算矩阵的行列式,逆矩阵,并解决线性方程组

矩阵的迹矩阵的对角线元素之和,也是其个特征值之和。

所有正交矩阵都是方块矩阵。

方块矩阵的等价命题

线性代数中,下列关于方块矩阵A的命题是等价的(同时成立,或同时不成立):

  1. A 可逆A反矩阵存在。
  2. det(A) ≠ 0 。
  3. rank(A) = n 。
  4. Null(A) = 0 。
  5. A特征值中没有0。
  6. 对任意b属于FnAx = b有唯一解。
  7. Ax = 0只有平凡解。
  8. ATA可逆。
  9. A与单位矩阵行(列)等价。
  10. A的行向量或列向量张成Fn
  11. A的零空间只有零向量。
  12. A的值域为Fn
  13. A的行(列)向量构成Fn (Fn)中向量的线性无关集。

这里,F为矩阵元素所属的。通常,这个域为实数域或复数域。

参考资料

  1. ^ 存档副本. [2015年2月26日]. (原始内容存档于2015年2月26日).国家教育研究院(繁体中文)

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