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拿破仑问题本文重定向自 拿破崙問題

(重定向自四等分圓)

拿破仑问题(Napoleon's problem)是著名的圆规作图问题,原题如下:

给定一和其圆心,只用圆规将此圆四等分。(此圆指的是圆周而不是圆面积

此题目是由意大利数学家罗兰索·马歇罗尼英语Lorenzo Mascheroni拿破仑·波拿巴提出的问题,但我们不知道他是否有解出这个问题。此题目后来又更加进化,变成只给定一圆,只用圆规将此圆四等分,在这种情况必须先用圆规作图找到圆心。以上两种都被称为拿破仑问题。

1672年,乔治·莫尔英语Georg Mohr证明只要使用圆规就可以解决所有的尺规作图[1],但此证明直到1928年才被发现。[2]

找出圆心

→深蓝、→红、→绿、→紫、→蓝

作法

  1. 在已知的圆上找任意一点 A,以任意半径 (必须和圆有交点,长度最好差不多有半圆那么长,方便第三步作图),交圆B'B 两点。
  2. 分别以B'B为圆心, 为半径,画两条弧 ,两弧线相交于 A 点和 C 点。
  3. 再以 C 点为圆心、 为半径,画弧 ,交弧D'D两点。
  4. D'D为圆心, 为半径,画两条弧 ,两弧线相交于A点和O点。(O点即圆的圆心)

证明

设圆的半径为,圆的半径为,我们知道:

因为,所以

由于,可以得出

根据对称性,通过圆心,又,所以是圆的圆心。

四等分圆

Nap4.png

作法

由前面我们已经知道圆心的位置

  1. 在已知的圆上找任意一点 ,以为半径画弧 ,交圆于 两点。
  2. 为圆心,为半径画弧 ,交圆于 点(和 点)。
  3. (继续分别以 为圆心, 为半径画弧,即可将圆六等分,) 为四个六等分点(如图)。
  4. 为圆心,为半径画弧 ;以 为圆心,为半径画弧 ,两弧交于 点。
  5. 为圆心,取的长度 为半径画弧 ,交圆于 两点。
  6. 四点将圆四等分。

证明

设圆的半径为,容易得出的长度都是,可以得出,根据毕氏定理可以得出,因此四点将圆四等分。

参见

注解

  1. ^ Georg Mohr, Euclides Danicus (Amsterdam: Jacob van Velsen, 1672).
  2. ^ Schogt, J. H. (1938) "Om Georg Mohr's Euclides Danicus," Matematisk Tidsskrift A , pages 34-36.

参考资料


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