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拉萨尔不变集原理

拉萨尔不变集原理(LaSalle's invariance principle)也称为不变集原理(invariance principle)[1]Barbashin-克拉索夫斯基-拉萨尔原理(Barbashin-Krasovskii-LaSalle principle)[2]克拉索夫斯基-拉萨尔原理(Krasovskii-LaSalle principle),是自治动力系统(可能是非线性系统李雅普诺夫稳定性的判断准则。

全域稳定性版本

考虑以下方程式的系统

其中为符合以下条件的变数向量

若可以找到 函数 ,使下式成立

针对所有(半负定)

则任何轨迹中聚点(accumulation point)的集合都在内, 是其完整轨迹完全在集合的联集。

函数又有正定的性质,即

,针对所有的

而且除了 for 的平凡轨迹外,未包括其他轨迹,则原点为李雅普诺夫稳定性

再者,若是径向无界(radially unbounded)

时,

原点为全域渐近稳定

局部稳定性版本

,当

在原点的邻域内才成立,且集合

除了的轨迹外,不包括其他系统的轨迹,则依照拉萨尔不变集原理的局部稳定版本,原点有局部的渐近稳定性

和李雅普诺夫稳定性的关系

If 负定,则原点的全域渐进稳定是李雅普诺夫第二定理的结果。若只是半负定,不变集原理也是判断渐近稳定性的准则。

例子:有摩擦力的单摆

此段落会用不变集原理来确立简单系统的区部渐近稳定性。此系统的微分方程如下[1]

其中是单摆的角度,以垂直往下的角度为0度,是单摆的质量,摩擦系数g是因重力产生的加速度。

因此可以将系统方程式表示如下

利用不变集原理,可以证明一定大小的球体,若初始位置在原点附近,可以证明其所有的轨迹都会渐近收敛到原点。定义

即为系统的能量[2]在原点附近,半径的开球体内为正定。计算其导数

可观察到。若成立,可以依李雅普诺夫第二定理得到所有轨迹都会到达原点的结论。不过很可惜,只是半负定。不过,以下集合

也就是

除了平凡轨迹x = 0外,不包括系统内的任何轨迹。若在特定时间 , ,则因为必需小于,则。因此,轨迹不会停留在集合内。

不变集原理的所有条件都满足,也可以下结论说:所有在原点附近的轨距,当时,最后都会收敛到原点[3]

历史

此结果是由约瑟夫·皮尔·拉萨尔英语J.P. LaSalle(在RIAS英语Research Institute for Advanced Studies)及尼古拉·尼古拉耶维奇·克拉索夫斯基英语Nikolai Nikolaevich Krasovsky两人独立发现,两人分别在1960年及1969年发表。约瑟夫·皮尔·拉萨尔在1960年发表此论文,是西方第一位发表此定理的人,而1952年由Barbashin及尼古拉·尼古拉耶维奇·克拉索夫斯基曾提到此定理中的特例,而1959年时由克拉索夫斯基发表了一般性的定理[4]

相关条目

原始论文

  • LaSalle, J.P. Some extensions of Liapunov's second method, IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp. 520–527, 1960. (PDF)
  • Barbashin, E. A.; Nikolai N. Krasovskii. Об устойчивости движения в целом [On the stability of motion as a whole]. Doklady Akademii Nauk SSSR. 1952, 86: 453–456 (俄语).
  • Krasovskii, N. N. Problems of the Theory of Stability of Motion, (Russian), 1959. English translation: Stanford University Press, Stanford, CA, 1963.

教科书

教材

参考资料

  1. ^ Khalil, Hasan. Nonlinear Systems 3rd. Upper Saddle River NJ: Prentice Hall. 2002.
  2. ^ Wassim, Haddad; Chellaboina, VijaySekhar. Nonlinear Dynamical Systems and Control, a Lyapunov-based approach. Princeton University Press. 2008.
  1. ^ Lecture notes on nonlinear control, University of Notre Dame, Instructor: Michael Lemmon, lecture 4.
  2. ^ ibid.
  3. ^ Lecture notes on nonlinear analysis页面存档备份,存于互联网档案馆), National Taiwan University, Instructor: Feng-Li Lian, lecture 4-2.
  4. ^ Vidyasagar, M. Nonlinear Systems Analysis, SIAM Classics in Applied Mathematics, SIAM Press, 2002.

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