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扭歪无限边形

三维空间中的扭歪无限边形。

几何学中,扭歪[1]无限边形(英语:Skew apeirogon)又称歪斜无限边形挠无限边形[2]是一种顶点并非全部共线无限边形

较常讨论及研究的扭歪无限边形主要有两个不同维度的形式,一种是二维的锯齿歪斜无限边形(英语:zig-zag skew apeirogons)其顶点交错位于两条互相平行直线上,另一种是三维的螺旋歪斜无限边形(英语:helical skew apeirogons)其顶点位于一个圆柱面上。二维中的锯齿歪斜无限边形可以看做是不断平移镜射英语glide reflections[3],如三维空间的螺旋轴英语Screw axis对称的形状。

正的扭歪无限边形存在于仿射和双曲考克斯特群皮特里多边形中。他们就如同合成所有考克斯特群镜射的单一变换[4]

二维的正扭歪无限边形

正扭歪无限边形
Regular apeirogon zig-zag.png
类型扭歪多边形
顶点
施莱夫利符号{∞}#{ }
对称群D∞d, [2+,∞], (2*∞)
内角扭歪
对偶正无限边形
特性扭歪, 等边多边形, 等角多边形

位于二维空间的正扭歪无限边形是一种锯齿扭歪多边形,又称为正锯齿扭歪无限边形具有2*∞, D∞d带状群英语Frieze group对称性

正的扭歪无限边形存在于三种正镶嵌图的皮特里多边形中,包括正方形镶嵌、正三角形镶嵌以及正六边形镶嵌,其内角分别为90°、120°和60°分别来自各正镶嵌图里的正多边形

三种正镶嵌图的皮特里多边形
Petrie polygons of regular tilings.png

等角扭歪无限边形

等角扭歪无限边形具有两种不同的边交错出现在带状群英语Frieze group对称性中,可以看成将正锯齿扭歪无限边形扭曲成具有平移对称性的等角无限边形。

二维空间中的扭歪等角无限边形 (锯齿)
对称性: p1, [∞]+, (∞∞), C
Isogonal apeirogon skew-equal.png
Isogonal apeirogon skew-unequal.png
Isogonal apeirogon.png
Isogonal apeirogon skew-unequal-backwards.png

另外还有一种等角扭歪无限边形,其两种不同的边其中一种边交错的与两条相互平行的直线重和(共线),每个平行边的中垂线都是整个图形的镜射轴。若边都等长则可以称其为半正扭歪无限边形。

二维空间中的扭歪等角无限边形 (拉长)
对称性: p2mg, [2+,∞], (2*∞), D∞d
Isogonal apeirogon2.png
Isogonal apeirogon2-rectangle.png
Isogonal apeirogon2a.png
Isogonal apeirogon2b.png
Isogonal apeirogon2c.png
Isogonal apeirogon2d.png

半正扭歪无限边形存在于一些平面正镶嵌图或半正镶嵌图的皮特里多边形中:

Quasiregular skew apeirogon in truncated tilings.png

双曲面上的扭歪无限边形

如同平面几何,在双曲几何中也能找到扭歪无限边形。

在双曲面上的正扭歪无限边形与平面的正扭歪无限边形类似,一样是存在于双曲面上正镶嵌图的皮特里多边形中,双曲面半正扭歪无限边形也一样,存在于双曲面上半正镶嵌图的皮特里多边形中。

三维空间的扭歪无限边形

正螺旋无限边形
Triangular helix.png
三角螺旋无限边形
类型扭歪多边形
顶点
施莱夫利符号{∞}#{p}
对称群螺旋英语Screw axis轴对称
内角扭歪
对偶螺旋无限边形 (本身)
特性扭歪, 等边多边形, 等角多边形

三维空间的扭歪无限边形是一种顶点全部局限于一个圆柱面的螺旋状几何图形,称为螺旋无限边形

这种扭歪无限边形可以借由无限堆叠的半正柱体或反柱体来构造,一般其扭曲角并不限于180度的整数除数。这种扭歪无限边形具有螺旋英语Screw axis轴对称对称性

无限堆叠的柱体,比如无限堆叠的正方体,透过每个正方形面的对角线相连,环绕着无限堆叠的正方体而构成一个四角螺旋无限边形,其扭曲角为90度,在施莱夫利符号中以{∞}#{4}表示

Cube stack diagonal-face helix apeirogon.png

无限堆叠的反柱体,比如无限堆叠的正八面体,透过每个边螺旋地环绕着无限堆叠的正八面体相连,而构成,根据连的边不同,一共有三种不同的组合,分别以红色、绿色和蓝色三种颜色表示。其扭曲角为60度,在施莱夫利符号中以{∞}#{6}表示

Octahedron stack helix apeirogons.png

Coxeter helix edges.png

等角螺旋无限边形

Cubic stack isogonal helical apeirogon.png

Elongated octahedron stack isogonal helical apeirogon.png

Quasiregular helix apeirogon in truncated Coxeter helix.png

参考文献

  1. McMullen, Peter; Schulte, Egon, Abstract Regular Polytopes 1st, Cambridge University Press, December 2002, ISBN 0-521-81496-0 p. 25
  2. Coxeter, H.S.M.; Regular complex polytopes (1974). Chapter 1. Regular polygons, 1.5. Regular polygons in n dimensions, 1.7. Zigzag and antiprismatic polygons, 1.8. Helical polygons. 4.3. Flags and Orthoschemes, 11.3. Petrie polygons
  3. Coxeter, H. S. M. Petrie Polygons. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, 1973. (sec 2.6 Petrie Polygons pp. 24–25, and Chapter 12, pp. 213–235, The generalized Petrie polygon )
  4. Coxeter, H. S. M. & Moser, W. O. J. Generators and Relations for Discrete Groups. New York: Springer-Verlag. 1980. ISBN 0-387-09212-9. (1st ed, 1957) 5.2 The Petrie polygon {p,q}.
  1. ^ 400年ぶりに新種の「対称性多面体」構造が発見される. gigazine.net. 2014-02-22 [2016-07-16].
  2. ^ skew polygon meaning in Chinese. ichacha.net. [2016-07-16].
  3. ^ Coxeter, H. S. M. and Moser, W. O. J. (1980), p.54 5.2 The Petrie polygon
  4. ^ Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]页面存档备份,存于互联网档案馆) (Definition: paper 13, Discrete groups generated by reflections, 1933, p. 161)

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