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扭歪多边形本文重定向自 扭歪多邊形

(重定向自不共面多邊形)
扭歪十边形。
位于锲形体上标明红色的边是一个正锯齿扭歪四边形

几何学中,扭歪[1]多边形(英语:Skew polygon)又称歪斜多边形挠多边形[2]鞍形多边形(英语:Saddle Polygon[3])是指顶点并非全部共面多边形[4][5]。扭歪多边形最少要有四个顶点。其无法找到一个唯一的多边形内部区域。而扭歪无限边形则是代表顶点并非全部共线无限边形[6]。除了扭歪无限边形之外的扭歪多边形仅能存在于三维或以上的空间,因为二维空间中不会有不共面的情形。

锯齿扭歪多边形(英语:zig-zag skew polygon)又称反柱多边形(英语:antiprismatic polygon[8]是一种顶点交错位于两平面且边数是偶数的扭歪多边形。

三维的正扭歪多边形

正扭歪多边形需要具备有点可递与边长皆相等的性质。在三维空间中,偶数边数的正扭歪多边形是顶点交错位于两平面的一种锯齿扭歪多边形(或称反柱多边形),每个底面边数为n的反柱体都可以构造一个正扭歪2n边形。

这种正多边形在施莱夫利符号中以{p}#{ }表示其为正多边形施莱夫利符号: {p} )和正交线段(施莱夫利符号: { } )的复合体[10],其中p表示多边形的边数。连续顶点之间的对称变换是滑移镜射英语glide reflection

均匀的反柱体之侧面相连绕反柱体一圈的多边形就是正扭歪多边形的一个例子,如下表列举的正四角反角柱正五角反角柱星形反棱柱英语Prismatic_uniform_polyhedron#Star_antiprism也可以透过与原先顶面到比面不同的连接顺序来构造出正扭歪多边形。

正锯齿扭歪多边形
扭歪四边形 扭歪六边形 扭歪八边形 扭歪十边形 扭歪十二边形
{2}#{ } {3}#{ } {4}#{ } {5}#{ } {5/2}#{ } {5/3}#{ } {6}#{ }
Disphenoid tetrahedron.png Skew polygon in triangular antiprism.png Skew polygon in square antiprism.png Regular skew polygon in pentagonal antiprism.png Regular skew polygon in pentagrammic antiprism.png Regular skew polygon in pentagrammic crossed-antiprism.png Regular skew polygon in hexagonal antiprism.png
s{2,4} s{2,6} s{2,8} s{2,10} sr{2,5/2}英语pentagrammic antiprism s{2,10/3}英语pentagrammic crossed-antiprism s{2,12}

正扭歪多边形也存在正的复合几何图形,其中,复合正锯齿扭歪多边形在边数是偶数的情形下可透过一个正扭歪多边形与另外一个全等但是旋转过的扭歪多边形重叠来构造。这些形状与一些反柱体的柱体状复合体共用顶点。

复合正锯齿扭歪多边形
扭歪四边形 扭歪六边形 扭歪十边形
二个{2}#{ } 三个{3}#{ } 二个{3}#{ } 二个{5/3}#{ }
Compound skew square in cube.png Skew tetragons in compound of three digonal antiprisms.png Compound skew hexagon in hexagonal prism.png Compound skew hexagon in pentagonal crossed antiprism.png

正多面体的皮特里多边形也可以用来构造正扭歪多边形

Petrie polygons.png

三维空间的等角扭歪多边形

等角扭歪多边形是一种等角但边未必等长的扭歪多边形。正扭歪多边形是一种等角扭歪多边形,但等角扭歪多边形不一定会是正扭歪多边形。半正的等角扭歪多边形通常会有两组等长的边交错。

扭歪八边形 扭歪十二边形 扭歪二十四边形
Isogonal skew octagon on cube2.png
立方体, 正方形对角线
Isogonal skew octagon on cube.png
立方体
Isogonal skew octagon on crossed-cube.png
交叉立方体
Isogonal skew octagon on hexagonal prism.png
六角柱
Isogonal skew octagon on hexagonal prism2b.png
六角柱
Isogonal skew octagon on hexagonal prism2.png
六角柱
Twisted dodecagonal antiprism.png
扭曲柱体
三个正扭歪无限面体的顶点图
{4,6|4} {6,4|4} {6,6|3}
Six-square skew polyhedron-vf.png
正扭歪六边形
{3}#{ }
Four-hexagon skew polyhedron-vf.png
正扭歪四边形
{2}#{ }
Six-hexagon skew polyhedron-vf.png
正扭歪六边形
{3}#{ }

四维的正扭歪多边形

由于扭歪多边形的定义是指顶点并非全部共面的多边形,因此也可以扭歪到更高的维度。

四维空间中简单的正扭歪多边形也如同三维空间,可透过正图形的皮特里多边形构造。下表将四维凸正多胞体的三维投影以黄色标出扭歪多边形:

A4, [3,3,3] B4, [4,3,3] F4, [3,4,3] H4, [5,3,3]
扭歪五边形 扭歪八边形 扭歪十二边形 扭歪三十边形
Skew Pentagon in Pentachoron.png Skew Octagon in Tesseract.png
4-simplex t0.svg
正五胞体
{3,3,3}
4-cube graph.svg
超正方体
{4,3,3}
4-orthoplex.svg
正十六胞体
{3,3,4}
24-cell t0 F4.svg
正二十四胞体
{3,4,3}
120-cell graph H4.svg
正一百二十胞体
{5,3,3}
600-cell graph H4.svg
正六百胞体
{3,3,5}

参见

参考文献

  1. Coxeter, H. S. M. Petrie Polygons. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, 1973. (sec 2.6 Petrie Polygons pp. 24–25, and Chapter 12, pp. 213–235, The generalized Petrie polygon )
  2. Coxeter, H. S. M. & Moser, W. O. J. Generators and Relations for Discrete Groups. New York: Springer-Verlag. 1980. ISBN 0-387-09212-9. (1st ed, 1957) 5.2 The Petrie polygon {p,q}.
  3. John Milnor: On the total curvature of knots, Ann. Math. 52 (1950) 248–257.
  4. J.M. Sullivan: Curves of finite total curvature, ArXiv:math.0606007v2
  1. ^ 400年ぶりに新種の「対称性多面体」構造が発見される. gigazine.net. 2014-02-22 [2016-07-16].
  2. ^ skew polygon meaning in Chinese. ichacha.net. [2016-07-16].
  3. ^ Weisstein, Eric W. Saddle Polygon. MathWorld. [2016-07-21].
  4. ^ Weisstein, Eric W. Skew Polygon. MathWorld. [2016-07-21].
  5. ^ Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. "Skew Polygons (Saddle Polygons)." §2.2
  6. ^ Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]页面存档备份,存于互联网档案馆) (Definition: paper 13, Discrete groups generated by reflections, 1933, p. 161)
  7. ^ Coxeter, H.S.M.; Regular complex polytopes (1974). Chapter 1. Regular polygons, 1.5. Regular polygons in n dimensions, 1.7. Zigzag and antiprismatic polygons, 1.8. Helical polygons. 4.3. Flags and Orthoschemes, 11.3. Petrie polygons
  8. ^ Regular complex polytopes[7] , p. 6
  9. ^ McMullen, Peter; Schulte, Egon, Abstract Regular Polytopes 1st, Cambridge University Press, December 2002, ISBN 0-521-81496-0 p. 25
  10. ^ Abstract Regular Polytopes[9] , p.217

外部链接


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