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扭棱立方体

扭棱立方体
扭棱立方体
(按这里观看旋转模型)
类别 半正多面体
38
60
顶点 24
欧拉特征数 F=38, E=60, V=24 (χ=2)
面的种类 正三角形
正方形
面的布局英语Face configuration (8+24){3}+6{4}
顶点图 3.3.3.3.4
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram CDW hole.pngCDW 4.pngCDW hole.pngCDW 3.pngCDW hole.png
施莱夫利符号
威佐夫符号英语Wythoff symbol | 2 3 4
康威表示法 nCO
对称群 O群
参考索引 U12, C24, W17
对偶 五角化二十四面体
特性 对掌性
立体图 Snub cube vertfig.png
3.3.3.3.4
顶点图
Pentagonalicositetrahedronccw.jpg
五角化二十四面体
(对偶多面体)
Snub cube flat.svg
(展开图)
扭棱立方体的结构,红色是扭棱前的正方形面、蓝色三角形代表扭棱前立方体顶点、黄色代表扭棱所产生的新的面。

几何学中,扭棱立方体(英语:snub cube[1]),又称拟立方体(英语:cubus simus[2][3])是一种由38个面组成的阿基米德立体[4],由6个正方形和32个正三角形组成,共有60条边和24个顶点[5]

性质

扭棱立方体是一个手性多面体英语Chirality (mathematics)[6],也就是说,该多面体镜射之后会跟原本的型形状不同,无法借由旋转半周再回到原本的形状[7][8][9]。扭棱立方体是一种阿基米德立体,其所有的面都是正多边形,且每个顶点都是4个三角形和一个正方形,其顶点图计为3.3.3.3.4或34.4[10],由于所有顶点相等,因此也称为半正多面体

体积与表面积

边长为单位长的扭棱立方体表面积体积为:

其中t表示三波那契常数英语tribonacci constant

由于扭棱立方体由6个正方形和32个正三角形组成,因此其表面积即6倍的正方形面积和32倍的正三角形面积

Snub hexahedron.png

二面角

扭棱立方体有两种不同角度二面角,分别是三角形-三角形二面角和三角形-正方形二面角。其中三角形-三角形二面角余角的余弦值是三次方程零点、三角形-正方形二面角余角的余弦值是六次方程零点

三角形-三角形二面角以反正割表示为:

换算成角度约为153.23度或153度14分04秒。

三角形-正方形二面角为:

换算成角度约为142.98度或142度59分00秒。

其中R为边长为单位长之扭棱立方体外接球半径

正交投影

扭棱立方体的正交投影
建立于 正三角形面 正方形面
图像 Snub cube A2.png Snub cube B2.png Snub cube e1.png
投影对称性 [3] [4]+ [2]
对偶图像 Dual snub cube A2.png Dual snub cube B2.png Dual snub cube e1.png

球面镶嵌

Spherical snub cube.png Snub cube stereographic projection.png
正方形为中心
正投影图英语Orthographic projection 球极平面投影

几何关联

扭棱立方体可透过扭曲小斜方截半立方体的正方形面得到

扭棱立方体可透过将立方体的正方形面向外拉,使之不再相连,然后再将正方形面旋转一个角度,再将空隙以三角形补满而得

Snub hexahedron.png
扭棱立方体
Hexahedron.png
立方体
Small rhombicuboctahedron.png
小斜方截半立方体
Snub hexahedron.png
扭棱立方体

相关多面体及镶嵌

扭棱立方体是立方体经过扭棱变换后的结果,其他也是由立方体透过康威变换得到的多面体有:

对称性英语List_of_spherical_symmetry_groups: [4,3], (*432)英语Octahedral symmetry [4,3]+
(432)
[1+,4,3] = [3,3]
(*332)英语Tetrahedral symmetry
[3+,4]
(3*2)英语pyritohedral symmetry
{4,3} t{4,3} r{4,3}
r{31,1}
t{3,4}
t{31,1}
{3,4}
{31,1}
rr{4,3}
s2{3,4}
tr{4,3} c{4,3} sr{4,3} h{4,3}
{3,3}
h2{4,3}
t{3,3}
s{3,4}
s{31,1}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
= CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node.png
CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
= CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
= CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png =
CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.png or CDel nodes 01rd.pngCDel split2.pngCDel node.png
CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png =
CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.png or CDel nodes 01rd.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h0.png =
CDel node h.pngCDel split1.pngCDel nodes hh.png
Uniform polyhedron-43-t0.svg Uniform polyhedron-43-t01.svg Uniform polyhedron-43-t1.svg
Uniform polyhedron-33-t02.png
Uniform polyhedron-43-t12.svg
Uniform polyhedron-33-t012.png
Uniform polyhedron-43-t2.svg
Uniform polyhedron-33-t1.png
Uniform polyhedron-43-t02.png
Rhombicuboctahedron uniform edge coloring.png
Uniform polyhedron-43-t012.png Truncated rhombic dodecahedron2.png Uniform polyhedron-43-s012.png Uniform polyhedron-33-t0.pngUniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-33-t01.pngUniform polyhedron-33-t12.png Uniform polyhedron-43-h01.svg
Uniform polyhedron-33-s012.png
对偶多面体
V43 V3.82 V(3.4)2 V4.62 V34 V3.43 V4.6.8 V4.62/63 V34.4 V33 V3.62 V35
CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
Octahedron.svg Triakisoctahedron.jpg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg Hexahedron.svg Deltoidalicositetrahedron.jpg Disdyakisdodecahedron.jpg Tetrakis cuboctahedron.png Pentagonalicositetrahedronccw.jpg Tetrahedron.svg Triakistetrahedron.jpg POV-Ray-Dodecahedron.svg

参见

参考文献

  1. ^ Wenninger, M. J. "The Snub Cube." Model 17 in Polyhedron Models. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 31, 1989.
  2. ^ Kepler, J. Harmonices Mundi. 1619. Reprinted Opera Omnia, Lib. II. Frankfurt, Germany. ASIN B0000DN8M2
  3. ^ Weissbach, B. and Martini, H. "On the Chiral Archimedean Solids." Contrib. Algebra and Geometry 43, 121-133, 2002.
  4. ^ Geometry Technologies. "Snub Cube.". scienceu.com. 1999-07-28. (原始内容存档于2000-03-08).
  5. ^ 埃里克·韦斯坦因. Snub cubic. MathWorld.
  6. ^ The Snub Cube. eusebeia. 2016-09-09 [2016-08-22]. (原始内容存档于2012-03-16).
  7. ^ Coxeter, H. S. M., Kaleidoscopes: Selected Writings, John Wiley and Sons: 282, 1995, ISBN 9780471010036.
  8. ^ Archimedean Solids: Snub Cube (laevo). dmccooey.com. (原始内容存档于2016-03-24).
  9. ^ Archimedean Solids: Snub Cube (dextro). dmccooey.com. (原始内容存档于2016-03-24).
  10. ^ Cundy, H. and Rollett, A. "Snub Cube. 3^4.4." §3.7.7 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., p. 107, 1989. ISBN 978-0906212202

外部链接


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