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扁球面坐标系

图1)扁球面坐标系的几个坐标曲面。红色扁球面的。蓝色半双曲面的。黄色半平面的(黄色半平面与xz-半平面之间的二面角角度是)。z-轴是垂直的,以白色表示。x-轴以绿色表示。三个坐标曲面相交于点P(以黑色的圆球表示),直角坐标大约为
图2)椭圆坐标系绘图。横轴是x-轴,竖轴是z-轴。红色椭圆(-等值线)变成上图的红色扁球面(坐标曲面),而青蓝色双曲线(-等值线)则变成蓝色半双曲面(坐标曲面)。

扁球面坐标系(英语:Oblate spheroidal coordinates)是一种三维正交坐标系。设定二维椭圆坐标系包含于xz-平面;两个焦点直角坐标分别为。将椭圆坐标系绕着z-轴旋转,则可以得到扁球面坐标系。(假若,绕着y-轴旋转,则可以得到长球面坐标系。)椭圆坐标系的两个焦点,变为一个半径为的圆圈,包含于三维空间的xy-平面。称这圆圈为焦圆,又称为参考圆。扁球面坐标系可以被视为椭球坐标系的极限案例,其两个最大的半轴的长度相同。

当边界条件涉及扁球面旋转双曲面时,扁球面坐标时常可以用来解析偏微分方程式。例如,关于佩兰摩擦因子(Perrin friction factors)的计算,扁球面坐标扮演了极重要的角色。让·佩兰因此而荣获1926年诺贝尔物理奖。佩兰摩擦因子决定了分子的旋转扩散(rotational diffusion)。这程序又影响了许多科技,像蛋白质核磁共振光谱学protein NMR),的可行性。应用这程序,我们可以推论分子的流体动力体积与形状。扁球面坐标也时常用来解析电磁学(例如,扁球形带电的分子的电容率),声学(例如,声音通过圆孔时产生的散射),流体动力学(水通过消防水带的喷口),扩散理论(红热的钱币在水里的冷却),等等方面的问题。

第一种表述

在三维空间里,一个点P的扁球面坐标常见的定义是

其中,是个实数,角度,角度

学术界比较中意这一种扁球面坐标,因为没有简并;三维空间内每一点都拥有自己独特的扁球面坐标。

坐标曲面

坐标曲面是扁球面 :

它们是由椭圆绕着z-轴旋转形成的。椭球面与xz-平面的相交,是一个的椭圆。沿着x-轴,长半轴长度为,沿着z-轴,短半轴长度为。椭圆的焦点都包含于x-轴,x-坐标分别为

坐标曲面是半个单叶旋转双曲面 :

假若是正值,也是正值,这半个单叶旋转双曲面在xy-平面以上;假若是负值,则在xy-平面以下。是双曲线的渐近线的角度。所有双曲线的焦点都在x-轴,x-坐标分别为

坐标曲面是个半平面 :

逆变换

用直角坐标来计算扁球面坐标,方位角的公式为

设定分别为点P与焦圆的最远距离与最近距离,以方程式表示为

坐标的方程式分别为

标度因子

扁球面坐标的标度因子相等:

方位角的标度因子为

无穷小体积元素是

拉普拉斯算子

其它微分算子,像,都可以用坐标表示,只要将标度因子代入在正交坐标系条目内对应的一般公式。

第二种表述

另外有一组有时会用到的扁球面坐标;其中,[1]坐标曲面是个扁球面,坐标曲面是个旋转双曲面。从直角坐标变换至扁球面坐标:

其中,实数,实数,角度

标度因子

扁球面坐标的标度因子分别为:

无穷小体积元素是

拉普拉斯算子

第三种表述

图3)第三种扁球面坐标系的三个坐标曲面。红色扁球面是坐标曲面。蓝色单叶双曲面是坐标曲面。黄色半平面是坐标曲面 (黄色半平面与xz-半平面之间的二面角角度是)。z-轴是垂直的,以白色表示。x-轴以绿色表示。第三种扁球面坐标系有双重简并。这可以从三个坐标曲面的两个相交点P1,P2 (以黑色的圆球表示)观察到。

另外,还有一种比较有几何直觉性的扁球面坐标系[2]

坐标必须大于或等于1。坐标必须在正负1之间。坐标曲面是扁球面。坐标曲面是单叶双曲面,包含了对应于正负的半双曲面。第三种坐标有双重简并:三维空间的两点(直角坐标映射至一组扁球面坐标系)。这双重简并可以从直角坐标变换至扁球面坐标的公式观察到:

坐标有一个简单的公式来表达任何一点P与焦圆的最远距离,最近距离

所以,点P与焦圆的最远距离是,点P与焦圆的最近距离是

坐标曲面

坐标曲面是扁球面 :

坐标曲面是单叶旋转双曲面 :

坐标曲面是半个平面 :

标度因子

扁球面坐标的标度因子分别为:

无穷小体积元素是

拉普拉斯算子

其它微分算子,像,都可以用坐标表示,只要将标度因子代入在正交坐标系条目内对应的一般公式。

如同球坐标解答的形式为球谐函数拉普拉斯方程可以用分离变数法来求解,得到形式为扁球谐函数的答案。假若,边界条件涉及扁球面,我们可以优先选择这方法来解析。

参阅

参考文献

  1. ^ Smythe, 1968。
  2. ^ Abramowitz and Stegun, p. 752。

参考目录

不按照命名常规

  • Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 662. 采用
  • Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 115. ISBN 0-86720-293-9. 如同Morse & Feshbach (1953),采用来替代
  • Smythe, WR. Static and Dynamic Electricity 3rd ed. New York: McGraw-Hill. 1968.
  • Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 98. 采用混合坐标

按照命名常规

  • Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 177.采用第一种表述,又加介绍了简并的第三种表述
  • Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: p. 182. 如同Korn and Korn (1961),但采用余纬度来替代纬度
  • Moon PH, Spencer DE. Oblate spheroidal coordinates (η, θ, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 31–34 (Table 1.07). ISBN 0-387-02732-7. Moon and Spencer采用余纬度常规,又改名

特异命名常规

  • Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP. Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics) 2nd edition. New York: Pergamon Press. 1984: pp. 19–29. ISBN 978-0750626347.视扁球面坐标系为椭球坐标系的极限。采用第二种表述。

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