万维百科

截角立方体

截角立方体
截角立方体
(按这里观看旋转模型)
类别 半正多面体
14
36
顶点 24
欧拉特征数 F=14, E=36, V=24 (χ=2)
面的种类 正三角形
正八边形
面的布局英语Face configuration 8{3}+6{8}
顶点图 3.8.8
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram CDW ring.pngCDW 4.pngCDW ring.pngCDW 3.pngCDW dot.png
施莱夫利符号 t{4,3}
威佐夫符号英语Wythoff symbol 2 3 | 4
康威表示法 tC
对称群 Oh群
参考索引 U09, C21, W8
对偶 三角化八面体
特性 -
立体图 Truncated cube vertfig.png
3.8.8
顶点图
Triakisoctahedron.jpg
三角化八面体
(对偶多面体)
Truncated hexahedron flat.svg
(展开图)

几何学中,截角立方体是一种十四面体,由八个正三角形与六个正八边形组成,具有14个、24个顶点以及36条。是一种阿基米德立体[1],属于半正多面体。其对偶多面体三角化八面体

性质

截角立方体是一种适当截角的立方体。截角时确定了截面的边与没截到的长度等长,因此会形成正八边形。过度截角到最后会变成截半立方体

截角立方体的对偶多面体三角化八面体,若截角立方体的边长是2,则其对偶的边常会变成单位长。

座标

一个边长为2ξ、几何中心位于原点的截角立方体,其顶点座标为:

(±ξ, ±1, ±1),
(±1, ±ξ, ±1),
(±1, ±1, ±ξ)
其中 ξ =

参数ξ的值可以在±1之间变化。值为1时产生一个立方体、值为0时是截半立方体,负值会变成自我相交八角星面。

Truncated cube sequence.png

体积与表面积

截角立方体的表面积,体积,其中是该截半立方体的边长[2]

表面积 =
体积 =

作法

立方体进行截角操作,也就是将立方体的八个顶点切去并在被切掉的地方建立八个正三角形面即可得到一个截角立方体

正交投影

截角立方体具有五个特殊正交投影,可分为三大类:以顶点为中心、以边缘为中心(棱)、以及以面为中心。以顶点为中心仅有一种,以边缘(棱)为中心有两种:以三角形-八边形边为中心和以八边形-八边形边为中心;以面为中心也是两种:以三角形面为中心以及以八边形面为中心。最后两个对应B2和A2考克斯特平面。

截角立方体的正交投影
建立方式 顶点
3-8

8-8

八边形

三角形
截角立方体 Cube t01 v.png Cube t01 e38.png Cube t01 e88.png 3-cube t01 B2.svg 3-cube t01.svg
三角化八面体
(对偶多面体)
Dual truncated cube t01 v.png Dual truncated cube t01 e8.png Dual truncated cube t01 e88.png Dual truncated cube t01 B2.png Dual truncated cube t01.png
投影
对称性
[2] [2] [2] [4] [6]

球面镶嵌

Uniform tiling 432-t01.png Truncated cube stereographic projection octagon.png
正八边形为中心
Truncated cube stereographic projection triangle.png
正三角形为中心
平行投影 施莱格尔投影英语Schlegel diagram

分解

一个被分解的截角立方体

截角立方体可以分割成一个中央立方体、周围六个四角帐塔跟角落八个正四面体。这种结构也可以在大斜方截半立方体堆砌中发现,其具有立方体、正四面体以及小斜方截半立方体的胞。

这种分解方式去除两个四角帐塔和中间的立方体可以用来构造斯图尔特环形所有正的面,这种“被挖空的”立方体有16个三角形,正方形12,和4个八边形[3][4]

Excavated truncated cube.png

顶点排布

共有三种多面体与截角立方体有着相同的顶点排布。他们分别为:

Truncated hexahedron.png
截角立方体
Uniform great rhombicuboctahedron.png
非凸大小斜方截半立方体英语Nonconvex great rhombicuboctahedron
Great cubicuboctahedron.png
大立方立方八面体
Great rhombihexahedron.png
大斜方立方体英语Great rhombihexahedron

相关多面体及镶嵌

截角立方体是立方体经过截角变换后的结果,与立方体相关的多面体还有:

半正正八面体家族多面体
对称性: [4,3], (*432) [4,3]+, (432) [1+,4,3], (*332) [4,3+], (3*2)
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Uniform polyhedron-43-t0.svg Uniform polyhedron-43-t01.svg Uniform polyhedron-43-t1.svg Uniform polyhedron-43-t12.svg Uniform polyhedron-43-t2.svg Uniform polyhedron-43-t02.png Uniform polyhedron-43-t012.png Uniform polyhedron-43-s012.png Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-43-h01.svg
{4,3} t0,1{4,3} t1{4,3} t1,2{4,3} {3,4} t0,2{4,3} t0,1,2{4,3} s{4,3} h{4,3} h1,2{4,3}
半正多面体的对偶
CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
Octahedron.svg Triakisoctahedron.jpg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg Hexahedron.svg Deltoidalicositetrahedron.jpg Disdyakisdodecahedron.jpg Pentagonalicositetrahedronccw.jpg Tetrahedron.svg POV-Ray-Dodecahedron.svg
V4.4.4 V3.8.8 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3 V3.4.4.4 V4.6.8 V3.3.3.3.4 V3.3.3 V3.3.3.3.3

变异对称

此多面体的拓扑结构属于考克斯特对称群[n,3]构成的一系列顶点配置为(3.2n.2n)和n.8.8的均匀截角多面体和镶嵌家族的一部分。

截角立方体的面组成方式是一个正八边形与正三角形交错组成。同样由正多边形与正三角形交错组成的多面体或镶嵌图包括:

*n32变异对称性的截角镶嵌英语Template:Truncated figure1 table: 3.2n.2n
对称性
*n32
[n,3]
球面镶嵌英语List_of_spherical_symmetry_groups 欧氏镶嵌英语List_of_planar_symmetry_groups 紧凑双曲 非紧双曲
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]...
*∞32
[∞,3]
截角镶嵌 Spherical triangular prism.png Uniform tiling 332-t01-1-.png Uniform tiling 432-t01.png Uniform tiling 532-t01.png Uniform tiling 63-t01.png H2 tiling 237-3.png H2 tiling 238-3.png H2 tiling 23i-3.png
顶点英语Vertex configuration 3.4.4 3.6.6 3.8.8 3.10.10 3.12.12 3.14.14英语Truncated_heptagonal_tiling 3.16.16英语Truncated octagonal tiling 3.∞.∞英语Truncated order-3 apeirogonal tiling
三角化
镶嵌
Spherical trigonal bipyramid.png Spherical triakis tetrahedron.png Spherical triakis octahedron.png Spherical triakis icosahedron.png Tiling Dual Semiregular V3-12-12 Triakis Triangular.svg Ord7 triakis triang til.png Ord8 triakis triang til.png Ord-infin triakis triang til.png
顶点英语Vertex configuration V3.4.4 V3.6.6 V3.8.8 V3.10.10 V3.12.12 V3.14.14英语Truncated_heptagonal_tiling#Dual_tiling V3.16.16英语Truncated_octagonal_tiling#Dual_tiling V3.∞.∞英语Truncated_order-3_apeirogonal_tiling#Dual_tiling

如上所述,截角立方体的面组成方式是一个正八边形与正三角形交错组成。另外一种就是视为正八边形与其他正多边形交错组成。具有此性质的多面体或镶嵌图包括:

*n42变异对称性的截角镶嵌: n.8.8
对称性
*n42英语Orbifold notation
[n,4]
球面镶嵌英语List_of_spherical_symmetry_groups 欧氏镶嵌英语List_of_planar_symmetry_groups 紧凑双曲镶嵌 仿紧双曲镶嵌
*242
[2,4]
*342
[3,4]
*442
[4,4]
*542
[5,4]
*642
[6,4]
*742
[7,4]
*842
[8,4]...
*∞42
[∞,4]
截角
Hexagonal dihedron.png Uniform tiling 432-t01.png Uniform tiling 44-t12.png H2 tiling 245-6.png H2 tiling 246-6.png H2 tiling 247-6.png H2 tiling 248-6.png H2 tiling 24i-6.png
顶点英语Vertex configuration 2.8.8 3.8.8 4.8.8 5.8.8英语Truncated order-5 square tiling 6.8.8英语Truncated order-6 square tiling 7.8.8英语Truncated order-7 square tiling 8.8.8 ∞.8.8英语Truncated infinite-order square tiling
n-角化
Spherical octagonal hosohedron.png Spherical triakis octahedron.png 1-uniform 2 dual.svg Order-4 pentakis pentagonal tiling.png Order4 hexakis hexagonal til.png Order4 heptakis heptagonal til.png Uniform tiling 83-t2.png Ord4 apeirokis apeirogonal til.png
顶点英语Vertex configuration V2.8.8 V3.8.8 V4.8.8 V5.8.8 V6.8.8 V7.8.8 V8.8.8 V∞.8.8

交错截角

截角立方体是将立方体每一个顶点切去,而立方体具有偶数个顶点(8个),且每个面的角数量也是偶数个(正方形有四个角)因此可以进行交错截角。交错截角立方体是一个倒角四面体

Alternate truncated cube.png

多胞体

截角立方体是截角超方形家族中的第二个成员,相关的多胞体包括:

截角超方形
Regular polygon 8 annotated.svg 3-cube t01.svgTruncated hexahedron.png 4-cube t01.svgSchlegel half-solid truncated tesseract.png 5-cube t01.svg5-cube t01 A3.svg 6-cube t01.svg6-cube t01 A5.svg 7-cube t01.svg7-cube t01 A5.svg 8-cube t01.svg8-cube t01 A7.svg ...
截角正方形 截角立方体 截角超立方体 截角五维超正方体 截角六维超正方体英语Truncated 6-cube 截角七维超正方体英语Truncated 7-cube 截角八维超正方体英语Truncated 8-cube
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

参见

参考文献

  1. ^ Cromwell, P. Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999). Ch.2 p.79-86 Archimedean solids
  2. ^ 埃里克·韦斯坦因. Truncated cube. MathWorld.
  3. ^ B. M. Stewart, Adventures Among the Toroids (1970) ISBN 978-0-686-11936-4
  4. ^ 存档副本. [2016-01-29]. (原始内容存档于2016-02-04).
  • Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)
  • Cromwell, P. Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999). Ch.2 p.79-86 Archimedean solids

外部链接


本页面最后更新于2021-06-10 18:23,点击更新本页查看原网页。台湾为中国固有领土,本站将对存在错误之处的地图、描述逐步勘正。

本站的所有资料包括但不限于文字、图片等全部转载于维基百科(wikipedia.org),遵循 维基百科:CC BY-SA 3.0协议

万维百科为维基百科爱好者建立的公益网站,旨在为中国大陆网民提供优质内容,因此对部分内容进行改编以符合中国大陆政策,如果您不接受,可以直接访问维基百科官方网站


顶部

如果本页面有数学、化学、物理等公式未正确显示,请使用火狐或者Safari浏览器