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(重定向自三角化截角四面體)
截角四面体
截角四面体
(按这里观看旋转模型)
类别 半正多面体
8
18
顶点 12
欧拉特征数 F=8, E=18, V=12 (χ=2)
面的种类 正三角形
正六边形
面的布局英语Face configuration 4{3}+4{6}
顶点图 3.6.6
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram CDW ring.pngCDW 3.pngCDW ring.pngCDW 3.pngCDW dot.png
施莱夫利符号 t{3,3}
威佐夫符号英语Wythoff symbol 2 3 | 3
康威表示法 tT
对称群 Td群
参考索引 U02, C16, W6
对偶 三角化四面体
特性 -
立体图 Truncated tetrahedron vertfig.png
3.6.6
顶点图
Triakistetrahedron.jpg
三角化四面体
(对偶多面体)
Truncated tetrahedron flat.svg
(展开图)

几何学中,截角四面体是一种半正八面体,13种阿基米德立体之一,共有8个面、18个边和12个顶点,是三角化四面体对偶多面体,可由四面体经过适当的截角,截去四面体的四个顶点所产生的多面体。

若进行更深的截角,甚至截到了中点,则称为截半四面体,然而此种多面体与正八面体是等价的[1]

由于截角四面体具有六边形与三角形的面,因此也是一种戈德堡多面体,其戈德堡符号计为GIII(1,1)。

此外,由于截角四面体可以由立方体透过斜截变换构成,即先交错、再截角,因此,截角四面体又称为斜截立方体截角交错立方体,在考克斯特符号英语Coxeter diagram中计为CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png,顶点数为小斜方截半立方体CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png的一半,因此两个截角四面体可以构成一个凸包小斜方截半立方体截角星形八面体,此种立体也称为二复合截角四面体[2]

性质

截角四面体半正多面体之一,由4个等边三角形和4个正六边形组成,有12个顶点和18条棱,可以想象为将正四面体的顶点切去。

座标

直角坐标系中,将几何中心位于原点边长为的四面体截角产生了12个顶点,以(±3, ±1, ±1),(±1, ±3, ±1),(±1, ±1, ±3) (其中每组坐标的±数目都是奇数个)为顶点,构成了一个截角四面体。12个顶点位置如下:

  • (+3,+1,+1), (+1,+3,+1), (+1,+1,+3)
  • (−3,−1,+1), (−1,−3,+1), (−1,−1,+3)
  • (−3,+1,−1), (−1,+3,−1), (−1,+1,−3)
  • (+3,−1,−1), (+1,−3,−1), (+1,−1,−3)
Truncated tetrahedron in unit cube.png Triangulated truncated tetrahedron.png UC54-2 truncated tetrahedra.png
正交投影显示截角四面体可置于一个(±3,±3,±3)的边框内。 截角四面体的六边形面可分割为6共面的正三角形。其产生了四个新顶点 :
(-1,-1,-1), (-1,+1,+1),
(+1,-1,+1), (+1,+1,-1).
顶点(±1,±1,±3)的全排列产生了两个互补的截角四面体,可将之结合成一个复合多面体,即截角星形八面体

体积与表面积

边长为的截角四面体,其表面积为,体积为[3]

交角

三角形与六边形的交角:,约为109.47122063449069136924599933996°
六边形与六边形的交角:,约为70.528779365509308630754000660038°
两个六边形的共线与三角形的交角:,约为125.26438968275465431537700033002°

作法

将一个正四面体透过截角变换构造,即将正四面体的四个顶点切去就可以得到一个截角四面体

正交投影

正交投影
中心 标准边 标准面 面/顶点
图像 Tetrahedron t01 ae.png Tetrahedron t01 af36.png 3-simplex t01.svg 3-simplex t01 A2.svg
对偶图像 Dual tetrahedron t01 ae.png Dual tetrahedron t01 af36.png Dual tetrahedron t01.png Dual tetrahedron t01 A2.png
投影
对称群
[1] [1] [3] [4]

球面镶嵌

Uniform tiling 332-t12.png Truncated tetrahedron stereographic projection triangle.png
三角形为中心
Truncated tetrahedron stereographic projection hexagon.png
六边形为中心
平行投影 施莱格尔投影英语Schlegel diagram

相关多面体及镶嵌

正四面体家族半正多面体
对称性: [3,3], (*332) [3,3]+, (332)
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Uniform polyhedron-33-t0.png Uniform polyhedron-33-t01.png Uniform polyhedron-33-t1.png Uniform polyhedron-33-t12.png Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-33-t02.png Uniform polyhedron-33-t012.png Uniform polyhedron-33-s012.png
{3,3} t0,1{3,3} t1{3,3} t1,2{3,3} t2{3,3} t0,2{3,3} t0,1,2{3,3} s{3,3}
半正多面体对偶
CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
Tetrahedron.svg Triakistetrahedron.jpg Hexahedron.svg Triakistetrahedron.jpg Tetrahedron.svg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg POV-Ray-Dodecahedron.svg
V3.3.3 V3.6.6 V3.3.3.3 V3.6.6 V3.3.3 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3.3

轨形对称

*n33轨形对称的斜截镶嵌英语Template:Cantic_table: 3.6.n.6
N33 fundamental domain t01.png 轨形英语Orbifold notation
*n32
球面镶嵌英语List_of_spherical_symmetry_groups 欧氏镶嵌英语List_of_planar_symmetry_groups 双曲镶嵌 仿紧
*332 *333 *433 *533 *633... *∞33
斜截镶嵌 Spherical cantic cube.png Uniform tiling 333-t12.png H2 tiling 334-6.png H2 tiling 335-6.png H2 tiling 336-6.png H2 tiling 33i-6.png
顶点英语Vertex configuration 3.6.2.6 3.6.3.6 3.6.4.6 3.6.5.6 3.6.6.6 3.6.∞.6

变异对称

*n32变异对称性的截角镶嵌英语Template:Truncated figure1 table: 3.2n.2n
对称性
*n32
[n,3]
球面镶嵌英语List_of_spherical_symmetry_groups 欧氏镶嵌英语List_of_planar_symmetry_groups 紧凑双曲 非紧双曲
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]...
*∞32
[∞,3]
截角镶嵌 Spherical triangular prism.png Uniform tiling 332-t01-1-.png Uniform tiling 432-t01.png Uniform tiling 532-t01.png Uniform tiling 63-t01.png H2 tiling 237-3.png H2 tiling 238-3.png H2 tiling 23i-3.png
顶点英语Vertex configuration 3.4.4 3.6.6 3.8.8 3.10.10 3.12.12 3.14.14英语Truncated_heptagonal_tiling 3.16.16英语Truncated octagonal tiling 3.∞.∞英语Truncated order-3 apeirogonal tiling
三角化
镶嵌
Spherical trigonal bipyramid.png Spherical triakis tetrahedron.png Spherical triakis octahedron.png Spherical triakis icosahedron.png Tiling Dual Semiregular V3-12-12 Triakis Triangular.svg Ord7 triakis triang til.png Ord8 triakis triang til.png Ord-infin triakis triang til.png
顶点英语Vertex configuration V3.4.4 V3.6.6 V3.8.8 V3.10.10 V3.12.12 V3.14.14英语Truncated_heptagonal_tiling#Dual_tiling V3.16.16英语Truncated_octagonal_tiling#Dual_tiling V3.∞.∞英语Truncated_order-3_apeirogonal_tiling#Dual_tiling

其他多面体

三角化截角四面体

三角化截角四面体

三角化截角四面体为截角四面体进行三角化变换的结果,即将截角四面体的三角形面加入三角锥

另外一种则是在六边形面加入六角锥

截角四面体图

截角四面体图
Tuncated tetrahedral graph.png
3倍对称
顶点12[4]
18
半径3
直径3[4]
围长3[4]
自同构群24 (S4)[4]
色数3[4]
色指数3[4]
属性Hamiltonian, regular, 3-vertex-connected, planar graph

在图论的数学领域中,与截角四面体相关的图为截角四面体图,其与截角四面体有相同的拓朴结构,是一种阿基米德图英语Archimedean graph[5][6],其顶点与边的数量及结构都与阿基米德立体中的截角四面体相同,具有12个顶点和18个边[7]。属于连结立体图(英语:connected cubic graph[8],也是一种连结立体可递的图[9]

正交投影
Truncated tetrahedral graph.circo.svg 3-simplex t01.svg
4倍对称
3-simplex t01 A2.svg
3倍对称

参见

参考文献

  1. ^ Chisholm, Matt; Avnet, Jeremy. Truncated Trickery: Truncatering. theory.org. 1997 [2013-09-02]. (原始内容存档于2014-07-21).
  2. ^ Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)
  3. ^ 埃里克·韦斯坦因. Truncated tetrahedron. MathWorld.
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 An Atlas of Graphs, page=172, C105
  5. ^ Read, R. C.; Wilson, R. J., An Atlas of Graphs, Oxford University Press, 1998
  6. ^ 埃里克·韦斯坦因. Truncated tetrahedral graph. MathWorld.
  7. ^ An Atlas of Graphs, page=267, truncated tetrahedral graph
  8. ^ An Atlas of Graphs, page=130, connected cubic graphs, 12 vertices, C105
  9. ^ An Atlas of Graphs, page=161, connected cubic transitive graphs, 12 vertices, Ct11

外部链接


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