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截角十二面体

截角十二面体
截角十二面体
(按这里观看旋转模型)
类别 半正多面体
32
90
顶点 60
欧拉特征数 F=32, E=90, V=60 (χ=2)
面的种类 正三角形
正十边形
面的布局英语Face configuration 20{3}+12{10}
顶点图 3.10.10
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram CDW ring.pngCDW 5.pngCDW ring.pngCDW 3.pngCDW dot.png
施莱夫利符号 t{5,3}
威佐夫符号英语Wythoff symbol 2 3 | 5
康威表示法 tD
对称群 Ih群
参考索引 U26, C29, W10
对偶 三角化二十面体
特性 -
立体图 Truncated dodecahedron vertfig.png
3.10.10
顶点图
Triakisicosahedron.jpg
三角化二十面体
(对偶多面体)
Truncated dodecahedron flat.png
(展开图)

几何学中,截角十二面体是一种由正十边形正三角形组成的三十二面体[1],是一种阿基米德立体[2]。其每个顶点都是1个三角形和2个十边形的公共顶点,具有每个顶角相等的性质,因此截角十二面体是一种半正多面体[3]

性质

截角十二面体共有32个面、90条边和60个顶点[4],每个顶点都是1个三角形和2个十边形的公共顶点,其顶点图可以用3.10.10来表示,也可以简写为3.102[5]

构造

截角十二面体可以经由正十二面体透过截角变换构造而成。截角变换使得正十二面体原本的正五边形面变成正十边形面,并在原本的顶点处形成正三角形

体积与表面积

边长为a的截角十二面体体积V和表面积A分别为:

顶点坐标

边长为2φ − 2且几何中心位于原点的截角十二面体[6]其顶点坐标[7]

(±φ, ±2, ±(φ + 1))

其中φ = ,为黄金比例.

球面镶嵌和施莱格尔图

截角十二面体对应的结构也可以构建成球面镶嵌,并以球极平面投影的方式呈现。

正投影图英语Orthographic projection 球极平面投影
Uniform tiling 532-t01.png Truncated dodecahedron stereographic projection decagon.png
以十边形为中心
Truncated dodecahedron stereographic projection triangle.png
以正三角形为中心
透视图 施莱格尔图
Truncated dodecahedron ortho-color.png Truncated dodecahedron schlegel.png Truncated dodecahedron schlegel-tricenter.png

顶点布局

有一些多面体与截角十二面体具有相同的顶点布局英语Vertex_arrangement,换句话说,及他们与截角十二面体共用顶点、或者可以具有相同的顶点坐标。这些多面体有[8][9][10]

Truncated dodecahedron.png
截角十二面体(原像
Great icosicosidodecahedron.png
大二十合二十合十二体英语Great icosicosidodecahedron
Great ditrigonal dodecicosidodecahedron.png
大二重三角十二合二十合十二面体英语Great ditrigonal dodecicosidodecahedron
Great dodecicosahedron.png
大十二合二十面体英语Great dodecicosahedron

相关多面体及密铺

截角二十面体是正二十面体经过截半变换后的结果,其他也是由正二十面体透过康威变换得到的多面体有:

正二十面体家族半正多面体
对称群: [5,3]英语Icosahedral symmetry, (*532) [5,3]+, (532)
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Uniform polyhedron-53-t0.png Uniform polyhedron-53-t01.png Uniform polyhedron-53-t1.png Uniform polyhedron-53-t12.png Uniform polyhedron-53-t2.png Uniform polyhedron-53-t02.png Uniform polyhedron-53-t012.png Uniform polyhedron-53-s012.png
{5,3} t0,1{5,3} t1{5,3} t0,1{3,5} {3,5} t0,2{5,3} t0,1,2{5,3} s{5,3}
半正多面体对偶
CDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 5.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
Icosahedron.svg Triakisicosahedron.jpg Rhombictriacontahedron.svg Pentakisdodecahedron.jpg POV-Ray-Dodecahedron.svg Deltoidalhexecontahedron.jpg Disdyakistriacontahedron.jpg Pentagonalhexecontahedronccw.jpg
V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5


截角二十面体可以独立填满双曲仿紧三维空间,这种由几何结构称为截角十二面体堆砌[11]

H3 353-0110 center ultrawide.png

参见

参考文献

  1. Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)
  2. Cromwell, P. Polyhedra. United Kingdom: Cambridge. 1997: 79–86 Archimedean solids. ISBN 0-521-55432-2.
  1. ^ 埃里克·韦斯坦因. Truncated Dodecahedron. MathWorld.
  2. ^ Cromwell, P. Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999). Ch.2 p.79-86 Archimedean solids
  3. ^ Kasahara, K. "The Final Semiregular Polyhedron". Origami Omnibus: Paper-Folding for Everyone.. Tokyo: Japan Publications. 1988: p. 229. ISBN 978-4817090010.
  4. ^ Geometry Technologies. "Truncated Dodecahedron.". scienceu. [2016-08-30]. (原始内容存档于2016-08-06).
  5. ^ Cundy, H. and Rollett, A. "Truncated Dodecahedron. 3.102." §3.7.9 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., p. 109, 1989. ISBN 978-0906212202
  6. ^ 埃里克·韦斯坦因. Icosahedral group. MathWorld.
  7. ^ Archimedean Solids: Truncated Dodecahedron. dmccooey.com. (原始内容存档于2016-03-12).
  8. ^ 埃里克·韦斯坦因. 大二十合二十合十二體. MathWorld.
  9. ^ 埃里克·韦斯坦因. 大二重三角十二合二十合十二面體. MathWorld.
  10. ^ 埃里克·韦斯坦因. 大十二合二十面體. MathWorld.
  11. ^ N.W. Johnson英语Norman Johnson (mathematician): The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966

外部链接


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