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截角八面体堆砌

截角八面体堆砌
Truncated octahedra.jpg
类型均匀堆砌
维度3
(4.6.6) Truncated octahedron.png
{4} Kvadrato.svg
{6} Regular hexagon.svg
棱图{3} Triangle.Isosceles.svg
等腰三角形
顶点图Bitruncated cubic honeycomb verf2.png
锲形四面体
施莱夫利符号2t{4,3,4}
t1,2{4,3,4}
考克斯特记号英语Coxeter–Dynkin_diagramCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png or CDel branch 11.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes.png
CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png = CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.png = CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node h0.png
对称群, [4,3,4]
空间群Im3m (229)
考克斯特群[[4,3,4]]
纤维流形记号8o:2
对偶多胞体锲形四面体堆砌英语Disphenoid tetrahedral honeycomb
特性顶点正英语vertex-transitive

几何学中,截角八面体堆砌又称为克尔文结构三维空间内28个半正密铺之一,由截角八面体独立堆积而成,虽然他每个都全等、每皆等长,但其不能称为正密铺,因为虽然它只由一种,截角八面体组成,但是该胞不是正多面体,因此并非所有“面”皆全等,因此截角八面体堆砌只能称为半正堆砌。截角八面体堆砌曾出现于克尔文的研究中,克尔文指出,这种结构构成的泡沫结构可能是表面积最小的理想泡沫结构,然而1993年时物理学家丹尼斯·韦尔和罗伯特·费伦指出存在表面积更小的韦尔—费伦结构[1]

性质

图中每一个正方体都是一个体心立方晶格原子,他们可以扩充为截角八面体堆砌

在截角八面体堆砌中,每个顶点周围皆有有四个截角八面体,且全由截角八面体组成,因此其胞可递英语cell-transitive。它也存在边可递英语edge-transitive的特性,由于其具有2个六边形和一个正方形,且截角八面体堆砌的每个顶点都是4个截角八面体的公共顶点,因此每条边和顶点也存在点可递英语vertex-transitive的特性。

截角八面体堆砌可以被视为体心立方晶格沃罗诺伊图开尔文男爵推测截角八面体堆砌若将其面和边弯曲且保留原来的布局将会变为最佳的肥皂泡沫理想结构[2]。而在1993年发现韦尔—费伦结构是比截角八面体堆砌更加的泡沫结构。

Bitruncated cubic tiling.png HC-A4.png

命名

康威称截角八面体堆砌为truncated octahedrille[3],在他的建筑学和反射的细分列表,与其对偶合称oblate tetrahedrille又称为锲形四面体堆砌。虽然正四面体不能单独填充整个空间,但截角八面体堆砌的对偶具有相同的锲形四面体胞与等腰三角形的面。

此外由于截角八面体堆砌的每个顶点都是4个截角八面体的公共顶点,因此也可称为四阶截角八面体堆砌。

历史

克耳文1887年提出了一个问题:如何将空间划分为等一系列体积的,且每个胞的表面积最小。简而言之,效率最高的泡沫结构是什么?[4]这个问题被称为克耳文问题。

克耳文提出了一种基于截角八面体堆砌的泡沫结构,因此截角八面体堆砌又被称为克耳文结构。截角八面体堆砌是一种由截角八面体独立填满三维空间的几何结构,是凸均匀堆砌体的一种,其中截角八面体是一个空间填充十四面体,由6个正方形面和8个正六边形面组成。为了使其符合泡沫的经验定律普拉托定律[5][6],克耳文结构中的截角八面体之六边形面有略微弯曲。不过这个被认为是最佳的泡沫结构于100年后才发现反例,该反例为韦尔—费伦结构[1],其表面积比克耳文结构还要小0.3%。2009年,鲁格罗・加布里埃利(Ruggero Gabbrielli)[7]发表了一种使用斯威夫特–奥昂贝格方程英语Swift–Hohenberg equation在最小曲面上找到克耳文问题候选解的方法。[8][9]

对称性与表面涂色

五种半正表面涂色
空间群 Im3m (229) Pm3m (221) Fm3m (225) F43m (216) Fd3m (227)
纤维流形 8o:2 4:2 2:2 1o:2 2+:2
考克斯特群 ×2
[[4,3,4]]
=[4[3[4]]]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node.png = CDel branch c1.pngCDel 3ab.pngCDel branch c1.png

[4,3,4]
=[2[3[4]]]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel 4.pngCDel node.png = CDel branch c1-2.pngCDel 3ab.pngCDel branch c2-1.png

[4,31,1]
=<[3[4]]>
CDel nodeab c1-2.pngCDel split2.pngCDel node c3.pngCDel 4.pngCDel node.png = CDel node c3.pngCDel split1.pngCDel nodeab c1-2.pngCDel split2.pngCDel node c3.png

[3[4]]
 
CDel node c3.pngCDel split1.pngCDel nodeab c1-2.pngCDel split2.pngCDel node c4.png
×2
[[3[4]]]
=[[3[4]]]
CDel branch c1.pngCDel 3ab.pngCDel branch c2.png
考克斯特符号英语Coxeter diagram CDel branch 11.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.png CDel branch 11.pngCDel 3ab.pngCDel branch 11.png
截角八面体 1
Uniform polyhedron-43-t12.svg
1:1
Uniform polyhedron-43-t12.svg:Uniform polyhedron-43-t12.svg
2:1:1
Uniform polyhedron-43-t12.svg:Uniform polyhedron-43-t12.svg:Uniform polyhedron-33-t012.png
1:1:1:1
Uniform polyhedron-33-t012.png:Uniform polyhedron-33-t012.png:Uniform polyhedron-33-t012.png:Uniform polyhedron-33-t012.png
1:1
Uniform polyhedron-33-t012.png:Uniform polyhedron-33-t012.png
顶点图 Bitruncated cubic honeycomb verf2.png Bitruncated cubic honeycomb verf.png Cantitruncated alternate cubic honeycomb verf.png Omnitruncated 3-simplex honeycomb verf.png Omnitruncated 3-simplex honeycomb verf2.png
顶点

对称性
[2+,4]
(order 8)
[2]
(order 4)
[ ]
(order 2)
[ ]+
(order 1)
[2]+
(order 2)
图像
表面依胞
上色
Bitruncated Cubic Honeycomb1.svg Bitruncated Cubic Honeycomb.svg Bitruncated cubic honeycomb3.png Bitruncated cubic honeycomb2.png Bitruncated Cubic Honeycomb1.svg

相关多面体和镶嵌

六角四片四角孔扭歪无限面体是一个正扭歪无限面体 {6,4|4},此形状中包含此堆砌状的六边形。

考克斯特群[4,3,4]、CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png产生15个排列均匀的镶嵌中,9个具有独特的的几何形状,包括交错立方体堆砌、扩展立方堆砌是几何上相同的立方体堆砌。

空间群 纤维流形 扩展
对称群
扩展
标记
蜂巢体
(堆砌)
Pm3m
(221)
4:2 [4,3,4] CDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c3.pngCDel 4.pngCDel node c4.png ×1 CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png 1, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png 2, CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png 3, CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png 4,
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png 5, CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.png 6
Fm3m
(225)
2:2 [1+,4,3,4]
↔ [4,31,1]
CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node c2.png
CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node c2.png
Half CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png 7, CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png 11, CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.png 12, CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.png 13
I43m
(217)
4o:2 [[(4,3,4,2+)]] CDel branch.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes hh.png Half × 2 CDel branch.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes hh.png (7),
Fd3m
(227)
2+:2 [[1+,4,3,4,1+]]
↔ [[3[4]]]
CDel branch.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes h1h1.png
CDel branch 11.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png
Quarter × 2 CDel branch.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes h1h1.png 10,
Im3m
(229)
8o:2 [[4,3,4]] CDel branch c2.pngCDel 4a4b.pngCDel nodeab c1.png ×2

CDel branch.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes 11.png (1), CDel branch 11.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes.png 8, CDel branch 11.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes 11.png 9

考克斯特群[4,31,1], CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png, 考克斯特群产生 9个排列均匀的镶嵌中,其中4个具有独特的的几何形状,包括交替立方体堆砌。

空间群 纤维流形 扩展
对称群
扩展
标记
蜂巢体
(堆砌)
Fm3m
(225)
2:2 [4,31,1]
↔ [4,3,4,1+]
CDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node c2.pngCDel split1.pngCDel nodes 10lu.png
CDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h1.png
×1 CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 10lu.png 1, CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 10lu.png 2, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes 10lu.png 3, CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes 10lu.png 4
Fm3m
(225)
2:2 <[1+,4,31,1]>
↔ <[3[4]]>
CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodeab c1.png
CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodeab c1.pngCDel split2.pngCDel node.png
×2 CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png (1), CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png (3)
Pm3m
(221)
4:2 <[4,31,1]> CDel node c3.pngCDel 4.pngCDel node c2.pngCDel split1.pngCDel nodeab c1.png ×2

CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png 5, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png 6, CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png 7, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png (6), CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png 9, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png 10, CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png 11

立方体堆砌是考克斯特群中的五个结构特别的均匀堆砌[10]之一,其对称性可以乘以环在考克斯特-迪肯符号的对称性:

空间群 纤维流形 方形
对称群
扩展
对称群
扩展
标记
扩展
蜂巢体
(堆砌)
F43m
(216)
1o:2 a1 [3[4]] CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png ×1 (None)
Fd3m
(227)
2+:2 p2 [[3[4]]] CDel branch 11.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png
CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h1.png
×2 CDel branch 11.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png 3
Fm3m
(225)
2:2 d2 <[3[4]]>
↔ [4,3,31,1]
CDel node c3.pngCDel split1.pngCDel nodeab c1-2.pngCDel split2.pngCDel node c3.png
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node c3.pngCDel split1.pngCDel nodeab c1-2.png
×2 CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 10luru.pngCDel split2.pngCDel node.png 1,CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes 10luru.pngCDel split2.pngCDel node 1.png 2
Pm3m
(221)
4:2 d4 [2[3[4]]]
↔ [4,3,4]
CDel node c1.pngCDel split1.pngCDel nodeab c2.pngCDel split2.pngCDel node c1.png
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel 4.pngCDel node.png
×4 CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node.png 4
Im3m
(229)
8o:2 r8 [4[3[4]]]
↔ [[4,3,4]]
CDel branch c1.pngCDel 3ab.pngCDel branch c1.png
CDel branch c1.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes.png
×8 CDel branch 11.pngCDel 3ab.pngCDel branch 11.png 5, CDel branch hh.pngCDel 3ab.pngCDel branch hh.png (*)

交错形式

截角八面体堆砌可以交错,从截角八面体的空隙中创建不规则四面体单元建立正二十面体。有三个相关的结构对应三种考克斯特—迪肯符号:CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel split1.pngCDel nodes hh.pngCDel node h.pngCDel split1.pngCDel nodes hh.pngCDel split2.pngCDel node h.png,且有对称性[4,3+,4]、[4,(31,1)+]和[3[4]]+。第一个和最后一个的对称性为[[4,3+,4]] and [[3[4]]]+的一倍。

截角八面体堆砌可以当作在α-rhombihedral晶体内的硼原子位置,在二十面体的中心是面心立方晶格的位置。[11]

五种半正表面涂色
空间群 I3 (204) Pm3 (200) Fm3 (202) Fd3 (203) F23 (196)
纤维流形 8−o 4 2 2o+ 1o
考克斯特群 [[4,3+,4]] [4,3+,4] [4,(31,1)+] [[3[4]]]+ [3[4]]+
考克斯特符号英语Coxeter diagram CDel branch hh.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel split1.pngCDel nodes hh.png CDel branch hh.pngCDel 3ab.pngCDel branch hh.png CDel node h.pngCDel split1.pngCDel nodes hh.pngCDel split2.pngCDel node h.png
四分之一
四分之一

折叠投影

考克斯特群
考克斯特记号英语Coxeter–Dynkin diagram#Geometric folding CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.png
形状 Bitruncated Cubic Honeycomb flat.png
过截角正方体堆砌
Uniform tiling 44-t012.png
截角四边形镶嵌

参见

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 Wearie-Phelan Bubbles. steelpillow.com. [2019-09-29]. (原始内容存档于2019-08-06).
  2. ^ Lord Kelvin (Sir William Thomson), On the Division of Space with Minimum Partitional Area (PDF), Philosophical Magazine, 1887, 24 (151): 503, doi:10.1080/14786448708628135.
  3. ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms)
  4. ^ Lord Kelvin (Sir William Thomson), On the Division of Space with Minimum Partitional Area (PDF), Philosophical Magazine, 1887, 24 (151): 503, doi:10.1080/14786448708628135.
  5. ^ Jean E. Taylor. "The Structure of Singularities in Soap-Bubble-Like and Soap-Film-Like Minimal Surfaces". Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 103, No. 3. May, 1976, pp. 489–539.
  6. ^ Frederick J. Almgren Jr and Jean E. Taylor, “The geometry of soap films and soap bubbles”, Scientific American, vol. 235, pp. 82–93, July 1976.
  7. ^ Gabbrielli, Ruggero. Ruggero Gabbrielli - Google Scholar Citations. scholar.google.com.
  8. ^ Gabbrielli, Ruggero. A new counter-example to Kelvin's conjecture on minimal surfaces. Philosophical Magazine Letters. 2009-08-01, 89 (8): 483–491. ISSN 0950-0839. doi:10.1080/09500830903022651.
  9. ^ Freiberger, Marianne. plus.maths.org. Plus Magazine (University of Cambridge). 2009-09-24 [2017-07-04]. (原始内容存档于2019-09-29) (英语).
  10. ^ [1], A000029 6-1 cases, skipping one with zero marks
  11. ^ Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X., p 199, Figure 5-38.
  1. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms)
  2. George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs, Manuscript (2006) (Complete list of 11 convex uniform tilings, 28 convex uniform honeycombs, and 143 convex uniform tetracombs)
  3. Branko Grünbaum, Uniform tilings of 3-space. Geombinatorics 4(1994), 49 - 56.
  4. Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
    • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (1.9 Uniform space-fillings)
  5. A. Andreini, Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (On the regular and semiregular nets of polyhedra and on the corresponding correlative nets), Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 (1905) 75–129.

外部链接


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