万维百科

截角二十面体本文重定向自 截角二十面體

(重定向自半正32面體)



截角二十面体
截角二十面体
(点选检视旋转模型)
类别 阿基米德立体
半正多面体
戈德堡多面体
32
90
顶点 60
欧拉特征数 F=32, E=90, V=60 (χ=2)
面的种类 正五边形 Simple pentagon.svg
正六边形 Orange hexagon.png
面的布局英语Face configuration 12{5}+20{6}
顶点图 5.6.6
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
施莱夫利符号 t{3,5}
t0,1{3,5}
威佐夫符号英语Wythoff symbol 2 5 | 3
康威表示法 tI
对称群 Ih英语Icosahedral symmetry, H3, [5,3], (*532), order 120
参考索引 U25, C27, W9
对偶 五角化十二面体
旋转对称群英语Point_groups_in_three_dimensions#Rotation_groups I英语Icosahedral symmetry, [5,3]+, (532), order 60
二面角 6-6: 138.189685°
6-5: 142.62085°
特性 半正
立体图 Truncated icosahedron vertfig.png
5.6.6
顶点图
Pentakisdodecahedron.jpg
五角化十二面体
(对偶多面体)
Truncated icosahedron flat-2.svg
(展开图)

几何学中,截角二十面体是一种由12个正五边形和20个正六边形所组成的半正多面体,同时具有每个三面角等角和每条边等长的性质,因此属于阿基米德立体[1],但由于其并非所有面全等因此不能算是正多面体。由于其包含了正五边形和六边形面,因此也是一种戈德堡多面体[2],其对偶多面体五角化十二面体。这种结构最早由列奥纳多·达·芬奇给予描述,后来出现于许多艺术创作和学术研究中。自1970年墨西哥足球世界杯之后,这种形状成为了足球的代表性形状[3][4],并且会在六边形涂上白色、五边形涂上黑色。在科学领域中,这种形状亦有许多用途,例如建筑学家巴克明斯特·富勒提出的网格球顶英语Geodesic dome结构,甚至在核子武器的引爆技术上也有使用这种形状的设计。巴克明斯特富勒烯分子(C60)也是这种形状。

历史

1509年绘制于《De divina proportione》的截角二十面体插图。

这种形状的骨架结构最早由列奥纳多·达·芬奇给予描述[5],虽然阿基米德被认为是最早想出十三种阿基米德立体的学者,这十三种立体中也包括了截角二十面体[6],但并未留下明确直接提及此形状的文献记录。阿尔布雷希特·丢勒也重现了一个类似截角二十面体的多面体,包含12个五角形和20个六角形面,但是没有明确的文献记录[7][8],不过部分文献认为这是最早的截角二十面体图像[9],不过这个时候还没有“截角”的概念。直到了16、17世纪时,约翰内斯·开普勒才引入了“截角”的概念[9],才得以将这个形状与正二十面体联系起来。自1970年墨西哥世界杯之后,截角二十面体成为足球的代表性形状。[3][4]

性质

截角二十面体是一种半正多面体,由五边形六边形组成[10],每个顶点都是两个六边形和一个五边形的公共顶点[11],在顶点图中可计为5.6.6,因此具有点可递的性质。由于其可以借由正二十面体透过截角变换,变换而成,因此称为截角二十面体[12]。由于此原因,截角二十面体在施莱夫利符号中可以用t{3,5}来表示,其中,t表示截角变换,{3,5}表示正二十面体(每个顶点都是五个三角形的公共顶点)。[13]

分类

几何学中,截角二十面体是一种半正多面体,由于其具有点可递的性质,因此属于阿基米德立体[1]。它由12个正五边形面、20个正六边形面、60个顶点和90个边构成。由于包含了正五边形和六边形面因此也是一种戈德堡多面体,在戈德堡符号中可用GPV(1,1) 或 {5+,3}1,1表示[2]。而1983年时,温尼尔在他的书《多面体模型》中列出许多多面体模型,其中也收录了此种形状,并给予编号W9[13]

组成

截角二十面体与正二十面体正十二面体的关联。

截角二十面体共有90条棱和60个顶点[14]正二十面体是由20个正三角形组成。把正二十面体的棱做三等分,则20个正三角形的面就得到了20个正六边形;同时把正二十面体的所有12个顶点削去[15],则每个顶点由上述三等分点形成的正五边形代替[12][16]。这就形成了截角二十面体[17]。由于正二十面体有20个正三角形的面,30条棱。每条棱做三等分则有2个分割点,由此削去正二十面体所有12个顶点后得到的截角二十面体有60个顶点。[12]

面的组成

截角二十面体由32个面组成,在这32个面中,共包含了12个正五边形面和20个正六边形面,其顶角皆为三面角[18],由2个六边形和一个五边形组成,换句话说,即每个顶点都是2个六边形和一个五边形的公共顶点,其顶点图可以计为5.6.6[19]。另外,在这个结构中,五边形面彼此不相邻。[20]

顶点布局英语Vertex_configuration5.6.6

尺寸

截角二十面体已知可以透过切去正二十面体的十二个顶点来构造,并且确保切出来的立体都是等边多面体。
从截角二十面体的展开图可以看出构成截角二十面体表面的所有形状,只要将这些形状的面积加总即可求得截角二十面体的表面积

若以a表示棱长,则截角二十面体的外接球半径为[21]

关于截角二十面体的体积,由于截角二十面体已知可以透过切去正二十面体的十二个顶点来构造,并且已知目标立体为等边多面体,因此可以知道被切下来的12个锥体是等边正五角锥。所以截角二十面体的体积可以透过正二十面体的体积减去12个锥体是等边正五角锥来计算[21],其结果为[22]

体积:

而关于截角二十面体的表面积,已知截角二十面体由12个正五边形和20正六边形所组成,因此截角二十面体的表面积可以透过12倍正五边形面积与20倍正六边形面积的和来计算[21],其结果为[22]

表面积:

顶点坐标

边长为2,几何中心位于原点的截角二十面体,其顶点的坐标为:[23]

(0, ±1, ±3φ)
(±1, ±(2 + φ), ±2φ)
(±2, ±(1 + 2φ), ±φ)

其中φ = (1+√5)/2,黄金分割数;此时棱长为 2,外接球半径为 [24]

二面角

截角二十面体有两种二面角,一个为两个六边形的交角,另一个为五边形与六边形的交角[22]

其中,两个六边形的交角为:
[22]
其中,五边形与六边形的交角为:
[22]
另外,其两个六边形的共线与五边形的交角为:
以及五边形和六边形的共线与邻近的六边形的交角为144°

正交投影

截角二十面体有五种具有特殊对称性的正交投影,分别是以顶点为中心、以边为中心(两种)、以六边形面为中心以及以五边形面为中心的正交投影。所述后者两种正交投影,其对称性对应于A2 和 H2的考克斯特平面[25][26]

正交投影
投影位置 顶点 五边形-六边形
六边形-六边形
六边形面 五边形面
立体 Polyhedron truncated 20 from blue max.png Polyhedron truncated 20 from yellow max.png Polyhedron truncated 20 from red max.png
图像 Dodecahedron t12 v.png Dodecahedron t12 e56.png Dodecahedron t12 e66.png Icosahedron t01 A2.png Icosahedron t01 H3.png
投影
对称性
[2] [2] [2] [6] [10]
对偶 Dual dodecahedron t01 v.png Dual dodecahedron t01 e56.png Dual dodecahedron t01 e66.png Dual dodecahedron t01 A2.png Dual dodecahedron t01 H3.png

球面镶嵌

截角二十面体也可以表示为球面镶嵌,并通过球极投影,投影到平面上。 这个投影是一个等角投影,虽然长度发生改变,但保留了角度信息。 球面镶嵌上的直线投影到了平面后成为了弧线。其结果与足球十分相似。[27][16]

Uniform tiling 532-t12.png Truncated icosahedron stereographic projection pentagon.png
以五边形为中心
Truncated icosahedron stereographic projection hexagon.png
以六边形为中心
正交投影 球极平面投影

应用

截角二十面体在日常生活[3]、艺术、自然科学和技术等领域中皆有用途。

在科学中

截角二十面体的爆缩透镜日语爆縮レンズ

在化学中也有一些分子的形状为截角二十面体,如富勒烯C60[8][28],这种分子于1985年被发现,其直径约为0.71纳米[29],由60个碳原子组成,且每个碳原子正好位于截角二十面体的顶点上[30]。这种形状也用于核子武器中,聚焦雷管的爆炸冲击波用的爆缩透镜日语爆縮レンズ,并配置于小工具胖子原子弹[31][32]。 截角二十面体的一种变体也曾用于由聚集材料制成的窝状车轮胎框的基础,其使用了富勒的网格球顶的部分几何结构(截角二十面体的局部),其被庞蒂克汽车部门在1971年至1976年间用于Trans Am和Grand Prix中[33]。此外,由于这个几何结构与建筑学家巴克明斯特·富勒设计的1967年世界博览会美国馆网格球顶英语Geodesic dome时分相似,为了表达对他的敬意,有时会将其称为“巴克球”(buckyball)[34]

在文化中

截角二十面体的球面镶嵌被运用在足球手球的形状上[16],大致上使得截角二十面体被认为是在日常生活中最著名的球面多面体之例子[3]。这些球类运动所使用的球体皆包含了相同的正五边形和正六边形图案,但由于运动用球内部通常会充气,使得空气的压强令球具有弹性、更加接近球体。足球的模样自1970年墨西哥世界杯之后为截角二十面体。[3][35]

在艺术中

截角二十面体出现于列奥纳多·达·芬奇绘制于卢卡·帕西奥利的著作《Divina proportione》中的插图。[36]

相关多面体与镶嵌

截角二十面体是正二十面体经过截角变换后的结果[24],其他也是由正二十面体透过康威变换得到的多面体有:

正二十面体家族半正多面体
对称群: [5,3]英语Icosahedral symmetry, (*532) [5,3]+, (532)
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Uniform polyhedron-53-t0.png Uniform polyhedron-53-t01.png Uniform polyhedron-53-t1.png Uniform polyhedron-53-t12.png Uniform polyhedron-53-t2.png Uniform polyhedron-53-t02.png Uniform polyhedron-53-t012.png Uniform polyhedron-53-s012.png
{5,3} t0,1{5,3} t1{5,3} t0,1{3,5} {3,5} t0,2{5,3} t0,1,2{5,3} s{5,3}
半正多面体对偶
CDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 5.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
Icosahedron.svg Triakisicosahedron.jpg Rhombictriacontahedron.svg Pentakisdodecahedron.jpg POV-Ray-Dodecahedron.svg Deltoidalhexecontahedron.jpg Disdyakistriacontahedron.jpg Pentagonalhexecontahedronccw.jpg
V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5

截角二十面体可视为一种截角的正球面镶嵌——截角五阶三角形镶嵌,即足球[3]。其他截角正镶嵌几何结构包含:

截角镶嵌对称性 *n32 的变种: n.6.6
Sym.
*n42
[n,3]
球面镶嵌英语List of spherical symmetry groups 欧氏镶嵌英语List_of_planar_symmetry_groups 紧凑双曲 仿紧双曲 非紧双曲
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]...
*∞32
[∞,3]
[12i,3] [9i,3] [6i,3]
截角镶嵌图 Hexagonal dihedron.svg Uniform tiling 332-t12.png Uniform tiling 432-t12.png Uniform tiling 532-t12.png Uniform tiling 63-t12.svg H2 tiling 237-6.png H2 tiling 238-6.png H2 tiling 23i-6.png H2 tiling 23j12-6.png H2 tiling 23j9-6.png H2 tiling 23j-6.png
顶点英语Vertex configuration 2.6.6 3.6.6 4.6.6 5.6.6 6.6.6 7.6.6 8.6.6英语Truncated order-8 triangular tiling ∞.6.6英语Truncated infinite-order triangular tiling 12i.6.6 9i.6.6 6i.6.6
n-kis镶嵌图 Hexagonal Hosohedron.svg Spherical triakis tetrahedron.png Spherical tetrakis hexahedron.png Spherical pentakis dodecahedron.png Uniform tiling 63-t2.svg Order3 heptakis heptagonal til.png H2checkers 334.png H2checkers 33i.png
顶点英语Vertex configuration V2.6.6 V3.6.6 V4.6.6 V5.6.6 V6.6.6 V7.6.6 V8.6.6 V∞.6.6 V12i.6.6 V9i.6.6 V6i.6.6

部分均匀星形多面体和一个星形二十面体的凸包为非半正的截角二十面体:[37]

凸包为截角二十面体的星形多面体
Nonuniform truncated icosahedron.png
非半正截角二十面体
2 5 | 3
Great truncated dodecahedron.png
U37
2 5/2 | 5
Great dodecicosidodecahedron.png
U61英语Great dodecicosidodecahedron
5/2 3 | 5/3
Uniform great rhombicosidodecahedron.png
U67英语Nonconvex great rhombicosidodecahedron
5/3 3 | 2
Great rhombidodecahedron.png
U73英语Great rhombidodecahedron
2 5/3 (3/2 5/4)
Complete icosahedron ortho stella.png
完全星形二十面体
Rhombidodecadodecahedron convex hull.png
非半正截角二十面体
2 5 | 3
Rhombidodecadodecahedron.png
U38
5/2 5 | 2
Icosidodecadodecahedron.png
U44英语Icosidodecadodecahedron
5/3 5 | 3
Rhombicosahedron.png
U56
2 3 (5/4 5/2) |
Small snub icosicosidodecahedron convex hull.png
非半正截角二十面体
2 5 | 3
Small snub icosicosidodecahedron.png
U32英语Small snub icosicosidodecahedron
| 5/2 3 3

在双曲空间中,过截角五阶十二面体堆砌(Truncated order-5 dodecahedral honeycomb)由截角二十面体独立堆砌而成,在考克斯特记号中,计为CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.png,其顶点图为锲形体[38][39]

H3 535-0110 center ultrawide.png

在四维空间中,部分多胞体含有截角二十面体形状的胞,例如大斜方六百胞体(Great rhombated hexacosichoron[40]或称Cantitruncated 600-cell)和过截角一百二十胞体(Bitruncated 120-cell)。[23]其中大斜方六百胞体共由1440个胞、8640个面、14400条边和7200个顶点所组成,在其1440个胞中有120个截角二十面体、720个正五角柱和600个截角八面体[41]。而过截角一百二十胞体共由720个胞、4320个面、7200条边和3600个顶点所组成,在其720个胞中有120个截角二十面体和600个截角四面体[42]

Cantitruncated 600-cell.png
大斜方六百胞体
Bitruncated 120-cell schlegel halfsolid.png
过截角一百二十胞体
Great rhombated hexacosichoron net.png
展开图
Hexacosihecatonicosachoron net.png
展开图

截角二十面体图

截角二十面体图
Truncated icosahedral graph.png
6边形置中心的施莱格尔图英语Schlegel_diagram
顶点60
90
自同构群120
色数3
属性立方体英语Cubic graph哈密顿正则零对称性英语Zero-symmetric graph

在图论的数学领域中,截角二十面体图是阿基米得立体中截角二十面体之边与顶点的图英语n-skeleton[43],其有时被称为巴克明斯特富勒图[44]。共有60个顶点和90条棱,且是立方体英语Cubic graph阿基米德图英语Archimedean graph[45][46][44][43]

正射投影
Icosahedron t01 H3.png
五折对称性
Truncated icosahedral graph pentcenter.png
5边形置中心的施莱格尔图英语Schlegel_diagram

参见

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 Cromwell, P. Polyhedra. United Kingdom: CUP hbk (1997), pbk. (1999), Cambridge. 1997: 79–86 Archimedean solids. ISBN 0-521-55432-2 (英语).
  2. ^ 2.0 2.1 Magnus Wenninger英语Magnus J. Wenninger, Spherical Models, Cambridge University Press, 1979, ISBN 978-0-521-29432-4, MR 552023, (原始内容存档于2008-07-04) (英语) Reprinted by Dover 1999 ISBN 978-0-486-40921-4
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Kotschick, Dieter. The Topology and Combinatorics of Soccer Balls. American Scientist. 2006, 94 (4): 350–357. doi:10.1511/2006.60.350 (英语).
  4. ^ 4.0 4.1 Swart, David; 等, Soccer Ball Symmetry, Proceedings of Bridges 2015: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture (Tessellations Publishing), 2015: 151–158 (英语)
  5. ^ Saffaro, L. Cosmoids, Fullerenes and continuous polygons. Taliani, C.; Ruani, G.; Zamboni, R. (编). Proceedings of the First Italian Workshop on Fullerenes: States and Perspectives 2. Singapore: World Scientific. 1992: 55. ISBN 9810210825 (英语).
  6. ^ Grünbaum, Branko, An enduring error, Elemente der Mathematik, 2009, 64 (3): 89–101, MR 2520469, doi:10.4171/EM/120 (英语)
  7. ^ Durer, A. German artist who made an early model of a regular truncated icosahedron. 1471–1528 (英语).
  8. ^ 8.0 8.1 Dresselhaus, M. S.; Dresselhaus, G.; Eklund, P. C. Science of fullerenes and carbon nanotubes. San Diego, CA: Academic Press. 1996. ISBN 012-221820-5 (英语).
  9. ^ 9.0 9.1 History of the truncated icosahedron. www2.fkf.mpg.de. [2019-09-10]. (原始内容存档于2017-12-19) (英语).
  10. ^ Martin Henk. Truncated Icosahedron, Electronic Geometry Model No. 2001.02.065. eg-models.de. 2001-02-01 [2019-09-11] (英语).
  11. ^ Truncated Icosahedron. coolmath.com. [2019-09-10]. (原始内容存档于2019-03-11) (英语).
  12. ^ 12.0 12.1 12.2 Murakami, Hidenori and Nishimura, Yoshitaka. Static and dynamic characterization of regular truncated icosahedral and dodecahedral tensegrity modules. International Journal of Solids and Structures (Elsevier). 2001, 38 (50-51): 9359––9381 (英语).
  13. ^ 13.0 13.1 Wenninger, Magnus英语Magnus J. Wenninger. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9 (英语).
  14. ^ Roman E. Maeder. 25: truncated icosahedron. MathConsult AG. [2019-09-10]. (原始内容存档于2019-01-16) (英语).
  15. ^ Kostant, Bertram. Structure of the truncated icosahedron (such as Fullerene or viral coatings) and a 60-element conjugacy class in PSl (2, 11). Proceedings of the National Academy of Sciences (National Acad Sciences). 1994, 91 (24): 11714––11717 (英语).
  16. ^ 16.0 16.1 16.2 Paul Bourke, § Soccer ball (Hand ball), Geometry of sports balls, Paul Bourke, January 2017 (英语)
  17. ^ The Icosahedron and the Truncated Icosahedron. geom.uiuc.edu. [2019-09-10]. (原始内容存档于2019-03-09) (英语).
  18. ^ Rene K. Mueller. Geodesic Polyhedra: Geodesic Truncated Icosahedron. simply differently. 2012-10-28 [2019-09-11]. (原始内容存档于2014-10-22) (英语).
  19. ^ Truncated icosahedron, tI. polyhedra.tessera.li. [2019-09-11] (英语).
  20. ^ A. Ramachandran, The Truncated Icosahedron –An Iconic 3-D Shape, Azim Premji University At Right Angles, March 2019: 69–71 (英语)
  21. ^ 21.0 21.1 21.2 Harish Chandra Rajpoot Rajpoot, HCR, Mathematical analysis of truncated icosahedron & identical football, Applications of HCR's Theory of Polygon & HCR's formula for platonic solids, 2014 (英语)
  22. ^ 22.0 22.1 22.2 22.3 22.4 Archimedean Solids: Truncated Icosahedron. dmccooey.com. [2018-01-06]. (原始内容存档于2017-12-31) (英语).
  23. ^ 23.0 23.1 The Truncated Icosahedron. eusebeia.dyndns.org. [2019-09-10]. (原始内容存档于2019-02-14) (英语).
  24. ^ 24.0 24.1 Weisstein, Eric W. (编). Icosahedral group. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2019-09-06]. (原始内容存档于2019-05-14) (英语).
  25. ^ 约翰·史坦布里奇英语John Stembridge. Coxeter Planes. math.lsa.umich.edu. (原始内容存档于2018-02-10) (英语).
  26. ^ 约翰·史坦布里奇英语John Stembridge. More Coxeter Planes. math.lsa.umich.edu. (原始内容存档于2017-08-21) (英语).
  27. ^ Huybers, P, In search of the roundest soccer ball, Int. Conference on Adaptability in Design and Construction, Eindhoven, 2006: 3––5 (英语)
  28. ^ Kroto, H. W.; Health, J. R.; O'Brien, S. C.; Curl, R. F.; Smalley, R. E. C60: Buckminsterfullerene. Nature. 1985, 318 (6042): 162–163. Bibcode:1985Natur.318..162K. doi:10.1038/318162a0 (英语).
  29. ^ Katz, E. A. Fullerene Thin Films as Photovoltaic Material. Sōga, Tetsuo (编). Nanostructured materials for solar energy conversion. Elsevier. 2006: 364. ISBN 978-0-444-52844-5 (英语).
  30. ^ Ozaki, Masa-aki and Taahashi, Akira. On electronic states and bond lengths of the truncated icosahedral C60 molecule. Chemical physics letters (Elsevier). 1986, 127 (3): 242––244 (英语).
  31. ^ Rhodes, Richard. Dark Sun: The Making of the Hydrogen Bomb. Touchstone Books. 1996: 195. ISBN 0-684-82414-0 (英语).
  32. ^ 山田克哉, 原子爆弾 : その理論と歴史, ブルーバックス日语ブルーバックス, 讲谈社, 1996年7月, ISBN 4-06-257128-5, ISBN ISBN 978-4-06-257128-9 (日语)
  33. ^ Rotella, R. The Definitive Firebird & Trans Am Guide: 1970 1/2 - 1981: Detailed Facts, Figures & Features of Pontiac's Legendary Firebirds & Trans Ams. CarTech. 2018: 64. ISBN 9781613253212. LCCN 2017014572 (英语).
  34. ^ Richard E. Smalley, Robert F. Curl, Jr., and Harold W. Kroto. Chemical Heritage Foundation. [2016-02-03]. (原始内容存档于2016-01-19) (英语).
  35. ^ Tarnai, Tibor and Lengyel, András. The Truncated Icosahedron as an Inflatable Ball. Periodica Polytechnica Architecture. 2018, 49 (2): 99––108 (英语).
  36. ^ Luca Pacioli. Divina proportione. Republic of Venice: Paganini (Venice). 1509 (意大利语).
  37. ^ Weisstein, Eric W. Echidnahedron. MathWorld--A Wolfram Web Resource. [2019-09-06]. (原始内容存档于2018-10-03) (英语).
  38. ^ Coxeter, Regular Polytopes, 3rd. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8. (Tables I and II: Regular polytopes and honeycombs, pp. 294-296) (英文)
  39. ^ Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999 ISBN 0-486-40919-8 (Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space, Summary tables II,III,IV,V, p212-213) (英文)
  40. ^ Richard Klitzing, 4D, uniform polytopes (polychora), (x3x3x5o - grix) (英文)
  41. ^ The Cantitruncated 600-cell. eusebeia.dyndns.org. [2019-09-10]. (原始内容存档于2019-05-03) (英语).
  42. ^ The Bitruncated 120-cell. eusebeia.dyndns.org. [2019-09-10]. (原始内容存档于2019-02-05) (英语).
  43. ^ 43.0 43.1 Kostant, Bertram. "The graph of the truncated icosahedron and the last letter of Galois" (PDF). Notices of the AMS. 1995, 42 (9): 959––968 [2018-02-01]. (原始内容存档 (PDF)于2017-01-15) (英语).
  44. ^ 44.0 44.1 Chris Godsil, Gordon F. Royle. "Algebraic Graph Theory". Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. 2001: 211. ISBN 978-0387952208 (英语).
  45. ^ Read, R. C.; Wilson, R. J., An Atlas of Graphs, Oxford University Press: 268, 1998 (英语)
  46. ^ Weisstein, Eric W. TruncatedIcosahedralGraph. MathWorld--A Wolfram Web Resource. [2019-09-06]. (原始内容存档于2019-05-18) (英语).
参考书目
  1. Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)
  2. Cromwell, P. Polyhedra. United Kingdom: Cambridge. 1997: 79–86 Archimedean solids. ISBN 0-521-55432-2.

外部链接


本页面最后更新于2021-05-21 14:48,点击更新本页查看原网页。台湾为中国固有领土,本站将对存在错误之处的地图、描述逐步勘正。

本站的所有资料包括但不限于文字、图片等全部转载于维基百科(wikipedia.org),遵循 维基百科:CC BY-SA 3.0协议

万维百科为维基百科爱好者建立的公益网站,旨在为中国大陆网民提供优质内容,因此对部分内容进行改编以符合中国大陆政策,如果您不接受,可以直接访问维基百科官方网站


顶部

如果本页面有数学、化学、物理等公式未正确显示,请使用火狐或者Safari浏览器