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四个三角形,左边的二个三角形全等,第三个三角形和前二个相似,第四个不全等也不相似,不过是同胚

形状是一物体或其外部边界、轮廓及其表面所组成的,和物体的其他特性(如颜色、纹理、材料组成等)无关。形状也可以是由或曲线或以上两种东西的结合来形成的封闭空间

心理学家认为人在心里会将影像分解为一些简单的几何形状,称为几何子英语geon (psychology)[1]。像圆锥及球就是几何子的例子。

物件的形状可以以基本的几何物件如直线曲线平面等等描述。对于二维以上的物件,可以透过切面或投影的形状来减少形状的维数

形状不受视角和方向的改变影响。可是,镜象可以称为不同的形状。若物件的尺度,形状有可能不同。例如当在横轴和纵轴中的尺度不同,会变成扁球体。即是说,保存对称轴在保存形状方面颇重要。

若两个图形的形状相同,即是说它们相似

放大缩小会改变大小而非形状;旋转和平移会保留大小和形状。

简单形状的分类

许多的多边形

许多简单的形状可以加以分类,例如多边形可以依其边的个数分为三角形四边形五边形等。每一种分类也可以再细分,例如三角形可以分为正三角形等腰三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形等,而四边形也可以分为矩形菱形梯形正方形等。

其他常见的形状有直线平面,以及像椭圆抛物线圆锥曲线

常见的三维形状有由许多平面组成的多面体、蛋形或是球形的椭球圆柱圆锥等。

若一个物体外形属于某一分类或是接近某一分类,就可以用那种分类来形容其形状。例如窨井盖的形状为圆盘,因为它外形近似一个真实的圆盘。

几何中的形状

有几种方式可以比较两个物体的形状:

  • 全等:若两个物体可以透过一连串的旋转平移镜射,让一个物体变成另一个物体,这两个物体称为全等。
  • 相似:若两个物体可以透过一连串的旋转平移镜射,再加上长宽等比例的放大缩小,让一个物体变成另一个物体,这两个物体称为相似。
  • 同痕:若一个物体可以透过一连串变换(但不包括穿洞,也不能“撕破物体”)变为另一个物体,这两个物体称为同痕。

两个相似或是全等的物体若需要透过镜射才能让一个物体变为另外一个,有些定义下也会将他们视为是不同的形状。例如字母b和d是彼此的镜射,因此它们全等也相近,但在有些定义下这二个会视为是不同的形状。有时只有物体的轮廓及外部边界会用来确认其形状。例如空心的圆球可能会和实心的圆球视为是相同的形状。许多科学领域会用Procrustes分析英语Procrustes analysis来确认二个物体是否有相同的形状,或是量测二个形状之间的差异。在高等数学中,拟等距同构也是判断二个形状是否近似相等的准则之一。

简单的形状多半可以分为简单的几何物件,例如线曲线平面或是几何图形(如正方形或是)或是立体图形(例如立方体或是)。但是许多真正世界的图形复杂的多,像是树木的结构或是海岸线不一定可以用传统的数学来描述,可能需要透过微分几何或是碎形来分析。

形状分析

上述有关形状的数学定义已用在统计形状分析英语statistical shape analysis的领域中。Procrustes分析英语Procrustes analysis是比较类似物体(例如不同动物的骨骼)形状,或是量测可变形物体的变形时都会用到。也有其他方式可用在非刚性的物体上,例如位置无关的形状检索(例如频谱形状分析英语Spectral shape analysis)。

参考资料

  1. ^ Marr, D., & Nishihara, H. (1978). Representation and recognition of the spatial organization of three-dimensional shapes. Proceedings of the Royal Society of London, 200, 269-294.

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