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度规函数

度规函数数学凸分析的一个重要函数。设上的向量空间,有需要时可以假设为拓扑向量空间。设为在内的凸集,且包含原点。那么的度规函数是从的函数,定义为

,

如果空集,定义

从定义立刻得到以下结果,可以进一步说明度规函数:

  • 是在中的开集,那么
  • 是在中的闭集,那么

性质

凸性

度规函数符合次加性,因此是凸函数

只取有限值的条件

包含的凸集的度规函数不取,当且仅当是吸收的。

同样地可立刻看出这条件当内点时成立。易证逆命题在有限维时成立:简洁做法是看到既是有限值和处处定义的凸函数,因而连续,故此包含在内且是的邻域。

是在的内部时,可以想像这样一幅图画:函数取值1的点正好是凸集的边界,其他正数值的水平面是其位似形。如果有不在任一个水平面上的点,函数在该点取值为

最后再补充一点。在实向量空间时,相对点对称,其度规函数避开值,这度规函数便是半范数;在复向量空间也有同样结论,只需把对称的定义,修改为与任何模为1的复数相乘都不变。

原点外不取0值的条件

从定义看出度规函数在原点外一点值,当且仅当从原点过的射线包含在凸集内。

因此立刻可知在赋范向量空间内,有界凸集的度规函数不在原点外取 值。

逆命题对有限维空间内的闭凸集成立,用半径为1的球面的紧致性证明。

为在有限维空间内包含的闭凸集。有界当且仅当其度规函数除原点外不取值。

用途

  • 拓扑向量空间理论,引入一族适合的度规函数,便能够以半范数描绘局部凸空间的特性。
  • 凸集的几何中,度规函数是有用的工具,能把纯几何问题(研究超平面),转变成纯分析问题(研究超平面的方程)。在凸集分离和支撑超平面理论的一个基础结果,就是哈恩-巴拿赫定理的几何形式,其中的证明关键,在观察到对适合方程的超平面,要求超平面避开给定包含原点的开凸集,与要求函数和凸集的度规函数适合不定方程是相同的。

参考书目

Jean-Baptiste Hiriart-Urruty and Claude Lemaréchal, Fundamentals of convex analysis, coll. « Grundlehren Text Editions », Springer, 2001, ISBN 3540422056, p. 128-130


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