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平均曲率

微分几何中,一个曲面 平均曲率mean curvature,是一个“外在的”弯曲测量标准,局部地描述了一个曲面嵌入周围空间(比如二维曲面嵌入三维欧几里得空间)的曲率。

这个概念由索菲·热尔曼在她的著作《弹性理论》中最先引入[1][2]

定义

是曲面 上一点,考虑 上过 的所有曲线 。每条这样的 点有一个伴随的曲率 。在这些曲率 中,至少有一个极大值 极小值 ,这两个曲率 称为 主曲率

平均曲率是两个主曲率的平均值(斯皮瓦克 1999,第3卷,第2章),由欧拉公式其实也是所有曲率的平均值[3],故有此名。

利用第一基本形式第二基本形式的系数,平均曲率表示为:

这里 是第一基本形式的系数, 为第二基本形式的系数。

平均曲率可推广为更一般情形 (斯皮瓦克 1999,第4卷,第7章),一个超曲面 的平均曲率为:

更抽象地说,平均曲率是第二基本形式(或等价地,形算子)的

另外,平均曲率 可以用共变导数 写成

这里利用了高斯-Weingarten 关系, 是一族光滑嵌入超曲面, 为单位法向量,而 度量张量

一个曲面是极小曲面当且仅当平均曲率为零。此外,平面 平均曲率满足一个热型方程称为平均曲率流方程。

3 维空间中曲面

对 3 维空间中的曲面,平均曲率与曲面的单位法向量相关:

这里法向量的选取影响曲率的正负号。曲率的符号取决于法向量的方向:如果曲面“远离”法向量则曲率是正的。上面的公式对 3 维空间中任何方式定义的曲面都成立,只要能够计算单位法向量的散度

对曲面是两个坐标的函数定义的曲面,比如 ,使用向下的法向量平均曲率(的两倍)表示为

如果曲面还是轴对称的,满足 ,则

流体力学

流体力学中使用的另外一种定义是不要因子 2:

这出现于杨-拉普拉斯公式中,平衡球状小滴内部的压力等于表面张力乘以 ;两个曲率等于小滴半径的倒数

极小曲面

Costa 极小曲面示意图

一个极小曲面是所有点的平均曲率为零的曲面。经典例子有悬链曲面螺旋面、Scherk 曲面与 Enneper 曲面。新近发现的包括 Costa 极小曲面(Costa's minimal surface,1982年)与 Gyroid(Gyroid,1970年)。

极小曲面的一个推广是考虑平均曲率为非零常数的曲面,球面和圆柱面就是这样的例子。Heinz Hopf 的一个问题为是否存在曲率为非零常数的非球面闭曲面。球面是惟一具有常平均曲率且没有边界或奇点的曲面;如果允许自交,则存在平均曲率为非零常数的闭曲面,Wente 在1986年曾构造出这样的自交环面(陈维桓 2006,4.6节)。

参见

  • 高斯曲率
  • 平均曲率流
  • 逆平均曲率流
  • 面积公式第一变分

注释

  1. ^ Dubreil-Jacotin on Sophie Germain. [2008-11-16]. (原始内容存档于2008-02-23).
  2. ^ Curvature in the Calculus Curriculum
  3. ^ 关于角度的平均值。

参考文献

  • 斯皮瓦克, 迈克尔, A comprehensive introduction to differential geometry (Volumes 3-4) 3rd, Publish or Perish Press, 1999, ISBN 0-914098-72-1 (Volume 3), ISBN 0-914098-73-X (Volume 4).
  • 陈维桓, 微分几何, 北京大学出版社, 2006, ISBN 7-307-10709-9 请检查|isbn=值 (帮助)

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