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希尔伯特第十六问题

希尔伯特第十六问题,是希尔伯特的23个问题之一。它分成两个部分:

  • 实代数曲线与曲面的拓扑结构

Harnack在1876年证明了一个平面上次实代数曲线最多有个分支。希尔伯特提议研究这些分支之间的拓扑性质,并将Harnack的估计推广到空间里的实代数曲面。

  • 极限环的拓扑结构

给定二元次实多项式,考虑下述平面上的动力系统

希尔伯特提议研究其极限环的最大数目及其拓扑。

总而言之,此问题意在研究由实多项式定义出的拓扑结构。在第一部分,我们考虑实多项式的零点;在第二部分,我们考虑实多项式定义的向量场及其积分曲线。

进展

希尔伯特第十六问题在1950年代末由苏联科学院院士彼得洛夫斯基(I.G.Petrovsky)与兰迪斯(E.M.Landies)解决。但随后他们的证明被证明存在漏洞。1980年,中国科学技术大学研究生史松龄,南京大学陈兰荪、王明淑分别独立举出反例,彻底推翻了二人的证明[1] [2]。因此第十六问题至今仍未解决。

文献

  • Yu. Il'yashenko, Finiteness theorems for limit cycles , Amer. Math. Soc.(1991)
  • Yu. Ilyashenko, S. Yakovenko(ed.), Concerning the Hilbert 16th problem(1995), Amer. Math. Soc.
  • Shi Songling, A concrete example of the existence of four limit cycles for plane quadratic systems, Sci. Sinica, 23 (1980), 153-158.
  • Lan Sun Chen, Ming Shu Wang, The relative position, and the number, of limit cycles of a quadratic differential system, Acta Math. Sinica, 22 (1979), 751–758.

参考文献

外部链接


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