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局部环

数学中,局部环是只有一个极大理想交换环

局部环的概念由 Wolfgang Krull 于1938年引入,称之为 Stellenringe,英译 local ring 源自扎里斯基

定义

为交换含幺环。若 仅有一个极大理想 ,则称 (或 )为局部环。域 称为 剩余域

中仅有有限个极大理想,则称之为半局部环

一个局部环 上带有一个自然的 -进拓扑,使得 成为拓扑环;其开集由 生成。当 诺特环时,可证明 为豪斯多夫空间,且所有理想皆是闭理想。

为局部环,环同态 被称为局部同态,当且仅当

例子

  • 是局部环。
  • 形式幂级数环 是局部环,其中 是个域。极大理想是
  • 取系数在 上,原点附近收敛半径为正的幂级数,它构成一个局部环,极大理想表法同上。
  • 赋值环皆为局部环。
  • 为任意交换环, 为素理想,则相应的局部化 是局部环;这也是局部环应用的主要场合。若 已是局部环,则
  • 局部环的商环仍是局部环。

动机与几何诠释

局部环意在描述一个点附近的函数“芽”。设 为拓扑空间,,且。考虑所有资料 ,其中 的一个开邻域,而 是连续函数。引入等价关系:

的开邻域。

换言之,若两个函数在 附近一致,则视之等同。上述等价类在逐点的加法及乘法下构成一个环 ,其元素称作在 连续函数芽,它体现了连续函数在 附近的行为。若 满足 ,则存在一个 的开邻域 及连续函数 ,使得 恒非零,因此可定义乘法逆元 。于是 是局部环,其唯一的极大理想是所有在 点取零的函数,剩余域则是

类似想法可施于微分流形解析流形复流形,稍作修改后亦可推广至代数簇概形

在代数几何与复几何中,假设适当的有限性条件(例如凝聚性), 若一陈述对某一点的芽成立,则在该点的某个开邻域上皆成立;就此而论,局部环集中表现了一点附近的局部性质

交换代数中,局部化的技术往往可将问题化约到局部环上;因此交换代数的许多定义与结果都落在局部环的框架内。

非交换的情形

一个含么环 被称作局部环,当且仅当它满足下述等价条件:

  • R 仅有一个极大左理想。
  • R 仅有一个极大右理想。
  • ,且任两个非可逆元的和仍为非可逆元。
  • ,且对任何元素 必有一者可逆。
  • ,若 中某个有限和是可逆元,则其中某项必可逆。

当上述任一性质成立,则下述三者等同:

  • R 的唯一极大左理想
  • R 的唯一极大右理想
  • R 的 Jacobson根

对于交换环,上述定义化为交换局部环的原始定义。

文献


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