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尺规作图

正五边形的作图

尺规作图(英语:Compass-and-straightedge 或 ruler-and-compass construction)是起源于古希腊数学课题。只使用圆规直尺,并且只准许使用有限次,来解决不同的平面几何作图题。

值得注意的是,以上的“直尺”和“圆规”是抽象意义的,跟现实中的并非完全相同,具体而言,有以下的限制:

  • 直尺必须没有刻度,无限长,只可以做过两点之直线。
  • 圆规可以开至无限宽,但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成你之前构造过的长度或一个任意的长度。

尺规作图的研究,促成数学上多个领域的发展。有些数学结果就是为解决古希腊三大名题而得出的副产品,对尺规作图的探索推动了对圆锥曲线的研究,并发现了一批著名的曲线。

若干著名的尺规作图已知是不可能的,而当中很多不可能的例子是利用了19世纪出现的伽罗瓦理论以证明。尽管如此,仍有很多业余者尝试这些不可能的题目,当中以化圆为方三等分任意角(Angle trisection)最受注意。

原理

作图公法

作图公法

以下是尺规作图中可用的基本方法,也称为作图公法,任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法:

  • 通过两个已知点可作一直线。
  • 已知圆心和半径可作一个圆。
  • 若两已知直线相交,可求其交点。
  • 若已知直线和一已知圆相交,可求其交点。
  • 若两已知圆相交,可求其交点。

问题

古希腊三大难题

古希腊三大难题是早期希腊数学家特别感兴趣的三个问题。由于我们的现代几何学知识是从希腊发源的,因此这三个古典几何问题在几何学中有着很高的地位。它们分别是:

化圆为方问题
求一个正方形的边长,使其面积与一已知圆的相等;
三等分角问题
求一角,使其角度是一已知角度的三分之一(可以用只有一点刻度的直尺与圆规作出)
倍立方问题
求一立方体的棱长,使其体积是一已知立方体的二倍(可以用木工的角尺作出)。

在欧几里得几何学的限制下,以上三个问题都不可能解决。

正多边形作法

  • 只使用直尺和圆规,作正五边形
  • 只使用直尺和圆规,作正六边形
  • 只使用直尺和圆规,作正七边形——这个看上去非常简单的题目,曾经使许多著名数学家都束手无策,而现在正七边形已被证明是不能由尺规作出的。
  • 只使用直尺和圆规,作正九边形,此图也不能作出来,因为单用直尺和圆规,是不足以把一个角分成三等份的。
  • 问题的解决:高斯大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法,并给出了可用尺规作图的正多边形的充分条件:尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方乘以任意个(可为0个)不同的费马素数的积,解决了两千年来悬而未决的难题。
  • 1832年,Richelot与Schwendewein给出正257边形的尺规作法。
  • 1900年左右,约翰·古斯塔夫·爱马仕花费十年的功夫用尺规作图作出正65537边形,他的手稿装满一大皮箱,可以说是最复杂的尺规作图。

四等分圆周

这道题只准许使用圆规,要求参与者将一个已知圆心的圆周4等分。这道题传言是拿破仑·波拿巴拟出,向全法国数学家挑战的。这道题已被证明有解。

延伸

圆规作图

  • 1672年,乔治·莫尔(Georg Mohr)证明:如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”,那么凡是尺规能作的,单用圆规也能作出,拿破仑问题就是一个例子。

直尺作图

  • 只用直尺所能作的图其实不多,但在已知一个圆和其圆心的情况下,那么凡是尺规能作的,单用直尺也能作出。

生锈圆规(即半径固定的圆规)作图

  • 生锈圆规作图,已知两点,找出一点使得
  • 已知两点,只用半径固定的圆规,求作使是线段的中点。
  • 尺规作图,是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的,能更简洁的表达吗?顺着这思路就有了更简洁的表达。
    • 10世纪时,有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图。
  • 从给定的两点出发时,生锈圆规作图完全等价于尺规作图。
  • 但是,“从给定的两点出发”这一条件必不可少,在有多个已知点的条件下,锈规作图的能力还有待研究。

二刻尺作图

  • 将条件放宽,允许使用有刻度的直尺,可以三等分角或做出正七边形等一般尺规做图所做不到的事。

允许使用长度等于1的线段

  • 已知两条线段AB、AC,可以作出一条线段的长度等于两条线段长度之乘积AB×AC。

外部链接

尺规作图的程式


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