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小斜方截半二十面体

小斜方截半二十面体
小斜方截半二十面体
(按这里观看旋转模型)
类别 半正多面体
62
120
顶点 60
欧拉特征数 F=62, E=120, V=60 (χ=2)
面的种类 正三角形
正方形
正五边形
面的布局英语Face configuration 20{3}+30{4}+12{5}
顶点图 3.4.5.4
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram CDW ring.pngCDW 5.pngCDW dot.pngCDW 3.pngCDW ring.png
施莱夫利符号 rr{5,3} 或
威佐夫符号英语Wythoff symbol 3 5 | 2
康威表示法 lrID
对称群 Ih群
参考索引 U27, C30, W14
对偶 鸢形六十面体
特性 -
立体图 Small rhombicosidodecahedron vertfig.png
3.4.5.4
顶点图
Deltoidalhexecontahedron.jpg
鸢形六十面体
(对偶多面体)
Rhombicosidodecahedron flat.png
(展开图)

几何学中,小斜方截半二十面体是一种半正多面体,由于其具有点可递的性质,因此属于阿基米德立体[1]。它由20个正三角形面、30个正方形面、12个正五边形面、60个顶点和120条棱构成[2]。其对偶多面体鸢形六十面体[3]

命名

约翰内斯·开普勒在他1618年出版的《世界的和谐》中,将这个多面体命名为小斜方截半二十面体(rhombicosidodecahedron),可以看做是截角截半二十面体菱形(truncated icosidodecahedral rhombus)的缩写,由于小斜方截半二十面体可以看做是菱形三十面体透过截角变换后的像而得名,其中截半二十面体菱形(icosidodecahedral rhombus)是开普勒给予菱形三十面体的命名[4]菱形三十面体透过截角变换后的像在拓朴学上可以产生两种不同的几何形状:左边为最直接的截半;中间是在五阶顶点截的较深的截半,其形成了均匀多面体;右边的是小斜方截半二十面体与菱形三十面体对偶多面体——截半二十面体的复合体。

性质

正十二面体透过扩展英语Expansion (geometry)变换形成小斜方截半二十面体的动画。

小斜方截半二十面体是一种半正多面体,由三种正多边形组成,分别为正三角形面、正方形面和正五边形,每个顶点都是两个正方形、一个正三角形和一个五边形的公共顶点,在顶点图中可计为3.4.5.4,因此具有点可递的性质。由于其可以借由正十二面体透过扩展英语Expansion (geometry)变换,变换而成,因此又可以称为扩展英语Expansion (geometry)十二面体。由于此原因,小斜方截半二十面体在施莱夫利符号中可以用rr{5,3}来表示,其中,rr表示扩展英语Expansion (geometry)变换,{5,3}表示正十二面体,亦可以简写为[5]

几何关联

将一个正十二面体正二十面体)三十条棱都切一刀,在二十(十二)个顶点处也切一刀,就可以得到一个小斜方截半二十面体。也可以透过将正二十面体移动到远离原点适当的距离,并且不改变面的大小,然后对偶多面体(正十二面体)也做相同动作,并且在剩余的空隙补上正方形也可以得到小斜方截半二十面体。一可以视为截半二十面体再次截半后的像[6]。因此,小斜方截半二十面体具有与正二十面体相同数量的三角形和与正十二面体相同数量的五边形,且正方形恰好等于正二十面体或正十二面体边的数量。

Small rhombicosidodecahedron.png
小斜方截半二十面体
Small dodecicosidodecahedron.png
小十二合截半二十面体英语Small dodecicosidodecahedron
Small rhombidodecahedron.png
小斜方十二面体英语Small rhombidodecahedron
Small stellated truncated dodecahedron.png
小星型截角十二面体英语Small stellated truncated dodecahedron
UC36-6 pentagrammic prisms.png
六复合五角星柱英语Compound of six pentagrammic prisms
UC37-12 pentagrammic prisms.png
十二复合五角星柱英语Compound of twelve pentagrammic prisms

小斜方截半二十面体与小星型截角十二面体英语Small stellated truncated dodecahedron六复合五角星柱英语Compound of six pentagrammic prisms以及十二复合五角星柱英语Compound of twelve pentagrammic prisms共用相同的顶点布局。

其他特性

小斜方截半二十面体由上而下可以分成5层,如下图所示,靠近顶面的那层可形成一个正十边形,特别地,由于其对称性,因此每十条棱皆可以成为一个正十边形,整个小斜方截半二十面体共有十二个独立的十边形。

小斜方截半二十面体的上下分层着色
小斜方截半二十面体的上下分层着色

顶点坐标

位于笛卡尔坐标系原点且边长为2单位长的小斜方截半二十面体,其顶点坐标[7]

(±1, ±1, ±φ3),
φ2, ±φ, ±2φ),
(±(2+φ), 0, ±φ2),

其中,φ = 黄金分割率

因此,这个小斜方截半二十面体的外接球半径是这些点与原点的共同距离,即

而这个值的一半更为常见,计做R,其值等于边长为1的小斜方截半二十面体之外接球半径,代入恒等式φn+2 = φn+1 + φn五次可以得到:

R = = ≈ 2.233

体积与表面积

一个边长为a的小斜方截半二十面体,其表面积A体积V为:

[8]

二面角

小斜方截半二十面体有两种二面角,一个为正五边形和正方形的交角,另一个为正三角形与正方形的交角[8]

其中,正五边形和正方形的交角为:
[8]
其中,正三角形与正方形的交角为:
[8]

正交投影

小斜方截半二十面体有6个特殊的正交投影,分别为于中心投影、于顶点上投影、于棱上投影(两种)和于面上投影(三种),其中“在正方形面上投影”以及“在正五边形面上投影”其对称性对应于A2 和 H2的考克斯特平面[9]

正交投影
投影位置 顶点 三角形-正方形
五边形-正方形
正方形面 三角形面 五边形面
立体图 Polyhedron small rhombi 12-20 from blue max.png Polyhedron small rhombi 12-20 from yellow max.png Polyhedron small rhombi 12-20 from red max.png
骨架 Dodecahedron t02 v.png Dodecahedron t02 e34.png Dodecahedron t02 e45.png Dodecahedron t02 f4.png Dodecahedron t02 A2.png Dodecahedron t02 H3.png
投影
对称性
[2] [2] [2] [2] [6] [10]
对偶骨架 Dual dodecahedron t02 v.png Dual dodecahedron t02 e34.png Dual dodecahedron t02 e45.png Dual dodecahedron t02 f4.png Dual dodecahedron t02 A2.png Dual dodecahedron t02 H3.png

球面镶嵌

小斜方截半二十面体也可以表示为球面镶嵌,并通过球极投影,投影到平面上。 这个投影是一个等角头影,虽然长度发生改变,但保留了角度资讯。 球面镶嵌上的直线投影到了平面后成为了弧线。

Uniform tiling 532-t02.png Rhombicosidodecahedron stereographic projection pentagon'.png
正五边形为中心
Rhombicosidodecahedron stereographic projection triangle.png
正三角形为中心
Rhombicosidodecahedron stereographic projection square.png
正方形为中心
正交投影 球极平面投影

相关多面体与镶嵌

小斜方截半二十面体可以经由正十二面体正二十面体透过扩展英语Expansion (geometry)变换构成。
Zometool英语Zometool积木组英语construction set的其中一个顶点连接零件是使用黄金比例矩形版本的小斜方截半二十面体[10]

小斜方截半二十面体是正十二面体经过扩展英语Expansion (geometry)变换后的结果,其他也是由正二十面体透过康威变换得到的多面体有:

正二十面体家族半正多面体
对称群: [5,3]英语Icosahedral symmetry, (*532) [5,3]+, (532)
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Uniform polyhedron-53-t0.png Uniform polyhedron-53-t01.png Uniform polyhedron-53-t1.png Uniform polyhedron-53-t12.png Uniform polyhedron-53-t2.png Uniform polyhedron-53-t02.png Uniform polyhedron-53-t012.png Uniform polyhedron-53-s012.png
{5,3} t0,1{5,3} t1{5,3} t0,1{3,5} {3,5} t0,2{5,3} t0,1,2{5,3} s{5,3}
半正多面体对偶
CDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 5.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
Icosahedron.svg Triakisicosahedron.jpg Rhombictriacontahedron.svg Pentakisdodecahedron.jpg POV-Ray-Dodecahedron.svg Deltoidalhexecontahedron.jpg Disdyakistriacontahedron.jpg Pentagonalhexecontahedronccw.jpg
V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5

变异对称性

这个多面体在拓扑上与一系列顶点图为(3.4.n.4)的多面体和镶嵌相关,皆具有(*n32)的镜射对称性。

扩展镶嵌对称性 *n32 的变种: 3.4.n.4
对称性
*n32
[n,3]
球面镶嵌英语List of spherical symmetry groups 欧氏镶嵌英语List_of_planar_symmetry_groups 紧凑双曲 仿紧双曲
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]...
*∞32
[∞,3]
图形 Spherical triangular prism.png Uniform tiling 332-t02.png Uniform tiling 432-t02.png Uniform tiling 532-t02.png Uniform polyhedron-63-t02.png H2 tiling 237-5.png H2 tiling 238-5.png H2 tiling 23i-5.png
顶点英语Vertex configuration 3.4.2.4 3.4.3.4 3.4.4.4 3.4.5.4 3.4.6.4 3.4.7.4英语rhombitriheptagonal tiling 3.4.8.4英语rhombitrioctagonal tiling 3.4.∞.4英语rhombitriapeirogonal tiling

詹森多面体

詹森多面体中,有13个与小斜方截半二十面体相关,其中包括5个小斜方截半二十面体的分割,以及8个与小斜方截半二十面体类似但部分结构被旋转的结果:

小斜方截半二十面体的分割
J5
Pentagonal cupola.png
76英语Diminished rhombicosidodecahedron
Diminished rhombicosidodecahedron.png
80英语Parabidiminished rhombicosidodecahedron
Parabidiminished rhombicosidodecahedron.png
81英语Metabidiminished rhombicosidodecahedron
Metabidiminished rhombicosidodecahedron.png
83
Tridiminished rhombicosidodecahedron.png
部分结构被旋转或者分割或者组合
72英语Gyrate rhombicosidodecahedron
Gyrate rhombicosidodecahedron.png
73英语Parabigyrate rhombicosidodecahedron
Parabigyrate rhombicosidodecahedron.png
74英语Metabigyrate rhombicosidodecahedron
Metabigyrate rhombicosidodecahedron.png
75英语Trigyrate rhombicosidodecahedron
Trigyrate rhombicosidodecahedron.png
77英语Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron
Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron.png
78英语Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron
Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron.png
79英语Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron
Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron.png
82
Gyrate bidiminished rhombicosidodecahedron.png

参见

参考文献

  1. Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)
  2. Cromwell, P. Polyhedra. United Kingdom: Cambridge. 1997: 79–86 Archimedean solids. ISBN 0-521-55432-2.
  3. The Big Bang Theory Series 8 Episode 2 - The Junior Professor Solution: features this solid as the answer to an impromptu science quiz the main four characters have in Leonard and Sheldon's apartment, and is also illustrated in Chuck Lorre's Vanity Card #461 at the end of that episode.
  1. ^ Cromwell, P. Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999). Ch.2 p.79-86 Archimedean solids
  2. ^ Rhombicosidodecahedron. bulatov.com. [2018-08-27]. (原始内容存档于2017-10-11).
  3. ^ 埃里克·韦斯坦因. DeltoidalHexecontahedron and Hamiltonian path. MathWorld.
  4. ^ Harmonies Of The World by Johannes Kepler, Translated into English with an introduction and notes by E. J. Aiton, A. M. Duncan, "J. V. Field, 1997, ISBN 0-87169-209-0 (page 123)
  5. ^ 埃里克·韦斯坦因. Small Rhombicosidodecahedron. MathWorld.
  6. ^ The Rhombicosidodecahedron. The Geometry Center. [2018-08-27]. (原始内容存档于2016-12-04).
  7. ^ 埃里克·韦斯坦因. Icosahedral group. MathWorld.
  8. ^ 8.0 8.1 8.2 8.3 Archimedean Solids: Rhombicosidodecahedron. dmccooey.com. [2018-08-27]. (原始内容存档于2018-01-29).
  9. ^ Coxeter Planes页面存档备份,存于互联网档案馆) and More Coxeter Planes页面存档备份,存于互联网档案馆约翰·史坦布里奇英语John Stembridge
  10. ^ 埃里克·韦斯坦因. Zome. MathWorld.

外部链接


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